Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Một số bài tập Đại số đại cương

đại số đại cương

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 13 trả lời

#1 ThienChi375

ThienChi375

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 14 Bài viết

Đã gửi 10-06-2017 - 19:59

ý b bài đầu tiên làm ntn ạ

mn gợi ý hướng giải 2 bài sau giúp e

Cám ơn ạ.

File gửi kèm



#2 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1566 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:Recently trying to grasp Algebraic Stack

Đã gửi 10-06-2017 - 20:36

ý b bài đầu tiên làm ntn ạ

mn gợi ý hướng giải 2 bài sau giúp e

Cám ơn ạ.

Tóm lại là ông muốn giải bài nào , tôi cứ giải câu câu $1b)$ trước

Câu $1$ : 

$b)$ Nếu $n$ là ước của $m$ thì hiển nhiên nên tôi chỉ chứng minh chiều ngược lại , giả sử $H_{n}$ là nhóm con của $H_{m}$ tức là $z^{n}, z^{m}$ đều là số thực dương , khi đó $(\frac{z}{|z|})^n$ và $(\frac{z}{|z|})^{m}$ là các số thực dương , khi đó ta quy về $a^{n}=a^{m}=1$ trong đó $|a| = 1$ thế thì quy về hai đa giác đều $m,n$ cạnh trong mặt phẳng , giả sử $n \leq m$ lúc này chỉ cần xét góc giữa hai tia gần nhau nhất của $m$ giác đều ta có $n | m$

$c)$ Chả hiểu , thế thì $C^{*} / H_{n}$ cố định với mọi $n$ à 

Câu $2$ :

$a)$ Hiển nhiên $I + J$ phải là Ideal ( check bằng định nghĩa ) , và nó chứa cả $I , J$ nên chứa $I \cup J$ . Giả sử $K$ cũng là một ideal chứa $I \cup J$ , xét một phần tử của $I + J$ là $i + j$ với $i \in I , j \in J$ thế thì $i , j \in K$ nên $i + j \in K$ vậy $I + J \subset K$ .

$b)$ Giả sử $m$ là ideal thực sự của $A$ ta xét $m \neq A$ . 

Nếu $m + aA = A$ với mọi $a \in A - m$ cực đại khi và chỉ khi $A / m$ là một trường hay $A / (A - aA)$ là một trường ( cái này bạn thử ktra xem chắc không khó ) 

Nếu $m$ là ideal cực đại thì $A / m$ là một trường , giả sử $[x] \neq [0]$ trong $A / m$ tức là $x \in A - m$ khi đó $m + xA$ là một ideal của $A$ chứa $m$ và khác $m$ , theo định nghĩa cực đại ta có $m + xA = A$ với mọi $x \in A - m$

Câu $3$ :

$a)$ Giả sử $A$ là một trường có ideal $I$ nào đó . Trước tiên $A - 0$ là một nhóm với phép nhân hay nói cách khác mọi phần tử đều khả nghịch , theo định nghĩa ideal $I$ thừa hưởng tính chất này nên $I$ chỉ có thể là $0$ hoặc $A$ . Ngược lại giả sử $A$ chia có hai ideal là $(0)$ và $(1)=A$ , xét một tử $x \in A - 0$ ta có một ideal sinh bởi $x$ là $xA$ vậy thì $xA = A$ tức là tồn tại một phần tử $y$ sao cho $xy = 1$ chính là nghịch đảo của $x$ 

$b)$ Xét một đồng cấu khác đồng cấu tầm thường $f : A \to B$ 

Nếu $A$ là một trường , xét $Ker(f)$ là một ideal của $A$ vì $A$ là một trường , và $f \neq 0$ nên $Ker(f) = 0$ tức là $f$ đơn cấu

Nếu $(f,B)$ luôn là đơn cấu thế thì $Ker(f)=0$ , bạn có thể chứng minh mọi ideal của $A$ đều là hạt nhân của một đồng cấu vành nào đó , do đó mọi ideal của $A$ là $0$ và $A$ nên $A$ là một trường 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 10-06-2017 - 21:20

Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.


#3 ThienChi375

ThienChi375

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 14 Bài viết

Đã gửi 10-06-2017 - 20:58

Tóm lại là ông muốn giải bài nào , tôi cứ giải câu câu $1b)$ trước

$1b)$ Nếu $n$ là ước của $m$ thì hiển nhiên nên tôi chỉ chứng minh chiều ngược lại , giả sử $H_{n}$ là nhóm con của $H_{m}$ tức là $z^{n}, z^{m}$ đều là số thực dương , khi đó $(\frac{z}{|z|})^n$ và $(\frac{z}{|z|})^{m}$ là các số thực dương , khi đó ta quy về $a^{n}=a^{m}=1$ trong đó $|a| = 1$ thế thì quy về hai đa giác đều $m,n$ cạnh trong mặt phẳng , giả sử $n \leq m$ lúc này chỉ cần xét góc giữa hai tia gần nhau nhất của $m$ giác đều ta có $n | m$

nốt 2 bài kia đi c =))))))))



#4 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1566 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:Recently trying to grasp Algebraic Stack

Đã gửi 10-06-2017 - 21:20

nốt 2 bài kia đi c =))))))))

Làm gọn cả bài rồi nhé


Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.


#5 ThienChi375

ThienChi375

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 14 Bài viết

Đã gửi 11-06-2017 - 11:08

Mn Giải giúp với ...

File gửi kèm



#6 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1566 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:Recently trying to grasp Algebraic Stack

Đã gửi 11-06-2017 - 17:16

Mn Giải giúp với ..

Bài $1,2,4$ đâu có gì đâu nhỉ ? 

Bài $3$ mình làm phần $b,c$ , sử dụng định lý vành $R$ có ideal $A$ , khi đó $A$ là ideal nguyên tố khi và chỉ khi $R/A$ là miền nguyên thì phần $c$ là hiển nhiên vậy chỉ còn lại phần $b$ là quan trọng nhất , nhưng mình nghĩ vành

Xét đồng cấu $\pi : R[x] \to R/I$ xác định bởi $\pi(f(x)) = [f(0)]$ có hạt nhân là $B$ , hiển nhiên là toàn cấu nên $R[x]/B \cong R/I$ 

Nhắc cậu luôn , lần sau đừng đăng rời rạc các topic cùng một tiêu đề " Một số bài tập đại số đại cương " , nếu muốn hỏi bài tiếp cứ tiếp tục đăng ở post này .


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 11-06-2017 - 18:14

Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.


#7 GSTHP

GSTHP

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 4 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tp. Buôn Ma Thuột - Tỉnh Đắk Lắk
  • Sở thích:Du lịch, tìm hiểu nhiều thứ.

Đã gửi 05-07-2017 - 17:20

Anh hướng dẫn giúp em cách giải bài 1 đến 6 với ạ, em cảm ơn. Hoặc nếu thêm được bài nào cũng được ah. <3  :wacko:

19601359_1337147553072856_50161651266042


Trên đời này, chuyện quái gì cũng có thể xảy ra được  :icon10:


#8 vutuanhien

vutuanhien

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 614 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN

Đã gửi 05-07-2017 - 21:06

Anh hướng dẫn giúp em cách giải bài 1 đến 6 với ạ, em cảm ơn. Hoặc nếu thêm được bài nào cũng được ah. <3  :wacko:

19601359_1337147553072856_50161651266042

Tất cả các bài này đều dùng định lý Sylow là xong. 


"Of all creatures that breathe and move upon the earth, nothing is bred that is weaker than man. For he thinks that he will never suffer evil in time to come, so long as the gods give him prosperity and his knees are quick; but when again the blessed gods decree him sorrow, this too he bears in sore despite with steadfast heart; for the spirit of men upon the earth is even such as the day which the father of gods and men brings upon them." (Homer, The Odyssey)

#9 GSTHP

GSTHP

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 4 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tp. Buôn Ma Thuột - Tỉnh Đắk Lắk
  • Sở thích:Du lịch, tìm hiểu nhiều thứ.

Đã gửi 08-07-2017 - 15:32

Tất cả các bài này đều dùng định lý Sylow là xong. 

B có thể làm chi tiết một vài bài đầu được không ah? (trừ bài 1 ah)


Trên đời này, chuyện quái gì cũng có thể xảy ra được  :icon10:


#10 vutuanhien

vutuanhien

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 614 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN

Đã gửi 08-07-2017 - 16:27

B có thể làm chi tiết một vài bài đầu được không ah? (trừ bài 1 ah)

Ta nhắc lại 3 định lý Sylow:

Định lý Sylow I: Giả sử $G$ là một nhóm hữu hạn, thì với mỗi số nguyên tố $p$ là ước của $|G|$, tồn tại $p$-nhóm con Sylow của $G$.  

Định lý Sylow II: Các $p$-nhóm con Sylow của $G$ là liên hợp với nhau.

Định lý Sylow III: Giả sử $G=p^{k}.m$ với $(m,p)=1$ và gọi $n_{p}$ là số $p$-nhóm con Sylow của $G$. Khi đó $n_{p}\equiv 1$ (mod $p$) và $n_{p}\mid m$.

 

Chẳng hạn với bài 5, áp dụng định lý Sylow III, ta có $n_{3}\equiv 1$ mod $3$ và $n_{3}\mid 4$. Do đó $n_{3}=1$ hoặc $n_{3}=4$. Nếu $n_{3}=1$ thì theo định lý Sylow II, $3$-nhóm con Sylow này là tự liên hợp (vì $n_{3}=1$). Suy ra $3$-nhóm con Sylow này là chuẩn tắc. Nếu $n_{3}=4$ thì ta có bổ đề sau:

Bổ đề: Nếu nhóm hữu hạn $G$ có $k$ nhóm con cấp $p$, thì $G$ có $k(p-1)$ phần tử cấp $p$. 

Chứng minh: Ta đã biết rằng mọi nhóm cấp $p$ đều là nhóm cyclic, và mọi phần tử khác $1$ đều là phần tử sinh. Do đó hai nhóm cấp $p$ phân biệt chỉ có thể giao nhau bằng ${1}$, và suy ra số phần tử phân biệt của $k$ nhóm này là $k(p-1)$ (đpcm). 

 

Như vậy, nếu $n_{3}=4$ thì $G$ sẽ có $8$ phần tử cấp $3$. Do đó chỉ có thể có đúng một $2$-nhóm con Sylow (vì mọi phần tử của $2$-nhóm con Sylow đều không thể có cấp là $3$). Vậy $n_{2}=1$ và theo định lý Sylow II, nhóm này là chuẩn tắc.  


"Of all creatures that breathe and move upon the earth, nothing is bred that is weaker than man. For he thinks that he will never suffer evil in time to come, so long as the gods give him prosperity and his knees are quick; but when again the blessed gods decree him sorrow, this too he bears in sore despite with steadfast heart; for the spirit of men upon the earth is even such as the day which the father of gods and men brings upon them." (Homer, The Odyssey)

#11 GSTHP

GSTHP

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 4 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tp. Buôn Ma Thuột - Tỉnh Đắk Lắk
  • Sở thích:Du lịch, tìm hiểu nhiều thứ.

Đã gửi 10-07-2017 - 06:35

Cảm ơn bạn Vutuanhien nhiều nha, đọc bài của b mình thấy rất dễ hiểu.
Sao học mấy lý thuyết này thấy mình chậm quá =((


Trên đời này, chuyện quái gì cũng có thể xảy ra được  :icon10:


#12 vutuanhien

vutuanhien

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 614 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN

Đã gửi 10-07-2017 - 07:12

Cảm ơn bạn Vutuanhien nhiều nha, đọc bài của b mình thấy rất dễ hiểu.
Sao học mấy lý thuyết này thấy mình chậm quá =((

Định lý Sylow là một phần khá khó. Bạn có thể lên google tìm bài giảng của Keith Conrad để đọc thêm, ông ấy có trình bày chứng minh 3 định lý trên và cả áp dụng. Ngoài ra có thể đọc trong cuốn Advanced Modern Algebra của Rotman về tác động nhóm để hiểu kĩ hơn. 


"Of all creatures that breathe and move upon the earth, nothing is bred that is weaker than man. For he thinks that he will never suffer evil in time to come, so long as the gods give him prosperity and his knees are quick; but when again the blessed gods decree him sorrow, this too he bears in sore despite with steadfast heart; for the spirit of men upon the earth is even such as the day which the father of gods and men brings upon them." (Homer, The Odyssey)

#13 ThienChi375

ThienChi375

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 14 Bài viết

Đã gửi 27-07-2017 - 16:23

Giúp mình một số bài tập với:

1, Gọi $X_n$ là tập hợp các căn phức bậc n của đơn vị. Chứng minh $X = \bigcup_{n:2}^{\infty}X_n$ là nhóm với phép nhân số phức.

2, Chứng minh rằng nhóm thương của nhóm cyclic là nhóm cyclic

3, Cho X là nhóm, $A \triangleright X$ và $B \subset X$. Chứng minh $AB = {ab | a \in A, b \in B}$ là một nhóm của X

4, Mình không hiểu lắm về cách viết phép thế. VD: các phép thế bậc 4 như (12)(34) hay (14)(23)

5, $X=<x>_m$, $Y=<y>_n, $t=(m,n)$

Chứng minh rằng tồn tại $\gamma: X\rightarrow Y$ sao cho $Ker \gamma =< x^t >$ là nhóm cycliic sinh bởi $x^t$^t>

6, Tìm tất cả các đồng cấu từ $(\mathbb{Q}, +)$ đến $(\mathbb{Z}, +)$

7, Tìm tất cả các đồng cấu từ nhóm cyclic cấp 6 đến nhóm thế $S_3$

8,Cho các nhóm cyclic $X=<x>_m$, $Y=<y>_n với $(m,n)=1$. Chứng minh rằng từ X đến Y chỉ có duy nhất một đồng cấu tầm thường.

Cảm ơn các bạn ! 



#14 vutuanhien

vutuanhien

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 614 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN

Đã gửi 28-07-2017 - 23:42

Giúp mình một số bài tập với:

1, Gọi $X_n$ là tập hợp các căn phức bậc n của đơn vị. Chứng minh $X = \bigcup_{n:2}^{\infty}X_n$ là nhóm với phép nhân số phức.

2, Chứng minh rằng nhóm thương của nhóm cyclic là nhóm cyclic

3, Cho X là nhóm, $A \triangleright X$ và $B \subset X$. Chứng minh $AB = {ab | a \in A, b \in B}$ là một nhóm của X

4, Mình không hiểu lắm về cách viết phép thế. VD: các phép thế bậc 4 như (12)(34) hay (14)(23)

5, $X=<x>_m$, $Y=<y>_n, $t=(m,n)$

Chứng minh rằng tồn tại $\gamma: X\rightarrow Y$ sao cho $Ker \gamma =< x^t >$ là nhóm cycliic sinh bởi $x^t$^t>

6, Tìm tất cả các đồng cấu từ $(\mathbb{Q}, +)$ đến $(\mathbb{Z}, +)$

7, Tìm tất cả các đồng cấu từ nhóm cyclic cấp 6 đến nhóm thế $S_3$

8,Cho các nhóm cyclic $X=<x>_m$, $Y=<y>_n với $(m,n)=1$. Chứng minh rằng từ X đến Y chỉ có duy nhất một đồng cấu tầm thường.

Cảm ơn các bạn ! 

 

Gợi ý cách làm:

 

Câu 1: Chú ý rằng nếu $a$ là căn bậc $m$ của đơn vị và $b$ là căn bậc $n$ của đơn vị thì $ab$ là căn bậc $mn$ của đơn vị. Vậy $X$ đóng với phép nhân. Với mỗi $x\in X$, tồn tại $n$ mà $x\in X_{n}$ mà $X_{n}$ là một nhóm nên $x^{-1}\in X_{n}$, tức là $x^{-1}$ thuộc $X$. Vậy $X$ đóng với phép nhân và phép lấy nghịch đảo, nên $X$ là nhóm con của $\mathbb{C}^{\times}$.

 

Câu 2: Gợi ý: Chứng minh rằng nếu $G=<a>$ thì $G/N=<aN>$.

 

Câu 3: Đã có ở trên diễn đàn, bạn tìm lại trong topic nào đó.

 

Câu 4: Giả sử có phép thế $\sigma: \left\{1,2,3,4\right\}\to \left\{1,2,3,4\right\}$, $\sigma(1)=2$, $\sigma(2)=1$, $\sigma(3)=4$, $\sigma(4)=3$. Khi đó có thể viết phép thế này thành $(12)(34)$. Cách viết như sau: Đầu tiên bắt đầu bởi $(1$. Vì $\sigma(1)=2$ nên sẽ là $(12$. $\sigma(2)=1$ nên dừng lại ở $(12)$ và tiếp tục với $3$ và $4$. Kết quả được $(12)(34)$. Ngược lại, $(12)(34)$ nghĩa là $\sigma(1)=2$, $\sigma(2)=1$, $\sigma(3)=4$, $\sigma(4)=3$. Hoặc $(14)(23)$ nghĩa là $\sigma(1)=4$, $\sigma(4)=1$, $\sigma(2)=3$, $\sigma(3)=2$

 

Câu 5: Xét $\varphi: X\to Y$, $\varphi(x)=y^{n/t}$.

 

Câu 6: Giả sử có một đồng cấu $\varphi:\mathbb{Q}\to \mathbb{Z}$. Khi đó $\varphi(x)=\varphi\left ( \dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{2} \right )=2\varphi\left ( \dfrac{x}{2} \right )$. Tương tự ta có $\varphi(x)=4\varphi\left(\dfrac{x}{4}\right)=...=2^{n}\varphi\left(\dfrac{x}{2^{n}}\right)$. Như vậy $2^{n}\mid \varphi(x)$ với mọi $n$ và ta suy ra $\varphi(x)=0$ với mọi $x\in \mathbb{Q}$.

 

Câu 7: Giả sử có một đồng cấu $\varphi$ từ $\mathbb{Z}/6$ vào $S_{3}$ thì $Im(\varphi)$ là một nhóm cyclic. Chứng minh rằng nhóm này không thể có 2 phần tử, và do đó nó phải là nhóm có $3$ phần tử. Nhóm con cyclic có $3$ phần tử của $S_{3}$ chỉ có thể là $\left\{(1), (132), (123)\right\}$.

 

Câu 8: Vì $x^{m}=1_{X}$ nên $\varphi(x)^m=\varphi(x^m)=1$. Vậy cấp của $\varphi(x)$ chia hết $m$, mà đồng thời cấp của $\varphi(x)$ chia hết $n$ theo định lý Lagrange, nên cấp của $\varphi(x)$ chia hết $(m,n)=1$, tức là $\varphi(x)=1$. Vậy chỉ có đồng cấu tầm thường.


"Of all creatures that breathe and move upon the earth, nothing is bred that is weaker than man. For he thinks that he will never suffer evil in time to come, so long as the gods give him prosperity and his knees are quick; but when again the blessed gods decree him sorrow, this too he bears in sore despite with steadfast heart; for the spirit of men upon the earth is even such as the day which the father of gods and men brings upon them." (Homer, The Odyssey)





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh