Chủ đề này có 1 trả lời

[Doremon2004]

Tìm tất cả các số nguyên dương x,y,z thỏa mãn điều kiện
$5^{x}.3^{y}+1=z(3z+2)$

(12301230)

[1ChampRivenn]

Tìm tất cả các số nguyên dương x,y,z thỏa mãn điều kiện
$5^{x}.3^{y}+1=z(3z+2)$

(12301230)

Vế trái chẵn nên ta suy ra $z$ chẵn và do đó vế phải chia hết cho $4$. Xét $mod4$ 2 vế dễ suy ra được $y$ phải lẻ.

$đk\Leftrightarrow 5^{x}3^{y}=(3z-1)(z+1)$

Do $3z-1$ ko chia hết cho $3$ nên $3z-1=5^a$, $z+1=5^{b}.3^y$ với $a,b$ là 2 số tự nhiên có tổng là $x$

Cộng 2 vế ta đc $4z=5^{a}+5^{b}.3^y$. Từ đăng thức ban đầu suy ra $z$ ko thể chia hết cho $5$ vì như thế $1$ chia hết cho $5$ vô lí.

suy ra 1 trong 2 số $a$ hoặc $b$ phải bằng $0$. Nếu $a=0$ suy ra vô lí. Vậy $b=0$.

Do đó $3z-1=5^x$, $z+1=3^y$ 

$\rightarrow 3(3^y-1)-1=5^x\rightarrow 3^{y+1}-4=5^x\rightarrow (3^{^{\frac{y+1}{2}}}-2)(3^{^{\frac{y+1}{2}}}+2)=5^x$

$\rightarrow 3^{^{\frac{y+1}{2}}}-2=5^c,3^{^{\frac{y+1}{2}}}+2=5^d\rightarrow 4=5^d-5^c\rightarrow c=0$

$\rightarrow 3^{^{\frac{y+1}{2}}}-2=1\rightarrow y=1\rightarrow d=1\rightarrow x=1\rightarrow z=2$

Vậy $(x,y,z)=(1,1,2)$