Chủ đề này có 1 trả lời

[redfox]

Cho đa thức $P\left ( x \right )\in \mathbb{Z}\left [ x \right ]$ có bậc là $k$, hệ số cao nhất là $a$ và số nguyên dương $m$.

a) Biết rằng $m|P(x),\forall x\in \mathbb{Z}$. Chứng minh rằng $m|ak!$.

b) Cho $m|ak!$. Chứng minh tồn tại đa thức $P\left ( x \right )\in \mathbb{Z}\left [ x \right ]$ có bậc là $k$, hệ số cao nhất là $a$ thỏa mãn $m|P(x),\forall x\in \mathbb{Z}$.

[dogsteven]

Lời giải

(a) Ta có $P(x)=a_0(x-1)...(x-k)+a_1(x-1)...(x-k+1)+...+a_k$ theo nội suy Newton thì dễ dàng quy nạp rằng $m|a_i.(k-i)!$
(b) Chọn $P(x)=a(x-1)...(x-k)+mQ(x)$ trong đó $Q$ hệ số nguyên và bậc nhỏ hơn $k$