Đến nội dung


Hình ảnh

Tuần 2 tháng 6/2017: Chứng minh rằng $UV \perp AD$.

hình học

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4206 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Geometry, Number Theory, Combinatorics, Manga

Đã gửi 11-06-2017 - 18:06

Như vậy lời giải cho hai bài Tuần 1 tháng 6/2017 đã được đưa tại đây kèm theo đó là hai bài toán mới của thầy Trần Quang Hùng và bạn Nguyễn Hoàng Nam.

 

Bài 1. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$. Đường tròn $(K)$ tiếp xúc $CA,AB$ và tiếp xúc trong $(O)$. Trung trực $CA,AB$ cắt đường thẳng qua $A$ vuông góc $AD$ tại $E,F$. $J$ là trung điểm $AK$. $JE,JF$ cắt trung trực $AD$ tại $M,N$. $P,Q$ là đối xứng của $D$ qua $KM,KN$. Trên $OF,OE$ lần lượt lấy $U,V$ sao cho $MU \perp AP, NV \perp AQ$. Chứng minh rằng $UV \perp AD$.

 

Screen Shot 2017-06-11 at 9.06.15 PM.png

 

Bài 2. Cho tam giác $ABC$ với $P,Q$ là hai điểm đẳng giác trong tam giác. Giao điểm $AP,CQ$ với $(ABC)$ lần lượt là $D,E$. Giao điểm của $DE$ và $BQ$ là $F$. Trung trực của $AB$ cắt $PQ$ tại $T$. Giao điểm của $TE$ và $AB$ là $G$. Chứng minh rằng bốn điểm $B,E,F,G$ cùng thuộc một đường tròn. 

 

Screen Shot 2017-06-11 at 9.06.07 PM.png


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zaraki: 11-06-2017 - 18:06

“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#2 ecchi123

ecchi123

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 152 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hòa bình
  • Sở thích:Hình , Hàm

Đã gửi 11-06-2017 - 23:49

Lời giải bài 1:

Đầu tiên ta có 1 phát biểu (!) : Cho $O(ABCD)=-1$ .  $OA\perp O'A', OB\perp O'B', OC\perp O'C', OD\perp O'D'$ thì $O'(A'B'C'D')=-1$

 

quantrong14.png

 GỌi $(K)$ cắt $AB,AC$ tại $R,S$ . $(ARS)$ cắt $(O)$ tại $G,A$ 

Ta có $AG,EF$ , tiếp tuyến tại $D$ đồng quy tại $Y$ do là TDP của các cặp 3 đường tròn $(O),(K),(ARS)$

 Nếu $AD$ cắt $(K)$ tại $X$ thì $XRDS$ là tứ giác điều ghòa , và  tiếp tuyến tại $X,D$ và $AG,EF$ đồng quy nên $A(GDRS)=-1$

 vậy nên  theo (!)  $O(EFJM)=-1$ . điều đó chứng tỏ $O$ là trung điểm $MN$ 

Ta có $K(MNOY)=-1$ vậy nên theo (!) : $D(PQXY)=-1$ . khi đó $PQDX$ điều hòa , nên $PQ$ đi qua $Y$

Từ đó ta lại có $A(PQXY)=-1$ . Gọi  $MU$ cắt $NV$ tại $T$ . $Z$ sao cho $TZ$ vuông $AD$ .  Dựng $O'$ sao cho $TO'$ vuông $AG$ . Vậy theo (!)  thì $T(ZO'MN)=-1$ nên $TO'$ đi qua $O$ . mà $TO$ vuông $AG$ nên $TO$ đi qua $J$

Tóm lại ta có $T(UVZO)=-1,O(UVMT)=-1$ và $TZ$ song song  $MO$ nên $UV$ song song $OM$ , tức vuông góc với $AD$

 

 



#3 NHN

NHN

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 39 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:miền nam
  • Sở thích:tìm link

Đã gửi 12-06-2017 - 01:46

mở rộng bài 1: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp trong $(O)$. Đường tròn $(K)$ tiếp xúc $CA,AB$ và tiếp xúc trong $(O)$ tại $D$.$J$ là trung điểm $AK$.Trên $OJ$ lấy $X$. Đường thẳng qua $X$ vuông $AB,AC$ lần lượt cắt đường thẳng qua $A$ vuông $AD$ tại $E,F$.  $JE,JF$ cắt trung trực $AD$ tại $M,N$. $P,Q$ là đối xứng của $D$ qua $KM,KN$. Trên $XE,XF$ lần lượt lấy $U,V$ sao cho $MU \perp AP$, $NV \perp AQ$. Chứng minh rằng $UV \perp AD$

chứng minh

 

Ta gọi trung trực $AB,AC$ cắt $EF$ tại $Y,Z$ thi theo lời giải của ecchi123 ta suy ra $OJ$ đi qua trung điểm của $YZ$ vậy theo talet ta có $OX$ đi qua trung điểm của $EF$ vậy $O$ là trung điểm $MN$ 

Do $M$ thuộc trung trực $AD,DP$ nên $M$ thuộc trung trực $AP$ tương tự $N$ thuộc trung trực $AQ$

Ta gọi giao của $(K)$ và $AB,AC$ là $R,S$. Giao của $(KRS)$ và $O$ là $T$ thì $AT,RS$ tiếp tuyến tại $D$ đồng qui tại L áp dụng hàng điểm ta có $-1=K(MNOL)=D(PQLA)$ gọi giao của $AD$ và $(K)$ là $G$ thì $G,P,Q,D$ là tứ giác diều hòa vậy $PQ$ đi qua $L$ vậy ta có $A,P,Q,T$ thuộc 1 đường tròn tâm là $H$ thi ta đễ có $H$ thuộc $OJ$

Cuối cùng do $H$ là giao của $MU$ và $NV$ vậy $UV$ song song $EF$ vậy $UV \perp AD$ 

https://www.geogebra.org/o/RhBAqWAH



#4 manhtuan00

manhtuan00

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 61 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Khoa học Tự nhiên
  • Sở thích:Hình học, số học, phương trình hàm, tổ hợp

Đã gửi 12-06-2017 - 22:04

Một hướng tiếp cận khác cho bài 1 ạ 

Do $P$ đối xứng $D$ qua $KM$ nên $MP = MD = MA$ suy ra $M$ nằm trên trung trực $AP$, tương tự $N$ nằm trên trung trực $AQ$. Sử dụng phép vị tự tâm $A$ tỉ số 2, ta đưa về bài toán

$\triangle ABC, A'$ đối xứng $A$ qua $O$ , $(K)$ tiếp xúc $(O)$ tại $D$. $A'B,A'C$ cắt đường thẳng qua $A$ vuông góc $AD$ tại $F,E$. $EK,FK$ cắt $A'D$ tại $M,N$. Đường tròn $(AM),(AN)$ cắt $(K)$ tại $P,Q$. $NQ,MP$ lần lượt cắt $A'E, A'F$ tại $U,V$. Khi đó $UV \perp AD$. Gọi $R,S$ là 2 tiếp điểm của $(K)$ với $CA,AB$. Đường tròn $(AK)$ cắt $(O)$ tại $G$. Khi đó $K,G,O$ thằng hàng . 

Gọi $H$ là giao của tiếp tuyến tại $D$ với $BC$ , khi đó $GH$ cũng là tiếp tuyến của $(O)$ nên tứ giác $(GBDC)$ điều hòa . Từ đây ta có $A'(KD,EF) = (GD,BC) = -1$ nên $A'K$ chia đôi $EF$, suy ra $A'$ là trung điểm $MN$ do $EF \parallel MN$ 

Gọi $T$ là giao của $NQ$ và $MP$, do 3 trục đẳng phương của $(AT) , (K) , (O)$ đồng quy nên $PQ, DH, AG$ đồng quy , và trục đẳng phương của 3 đường tròn $(AK) , (K), (O)$ đồng quy nên 4 đường thẳng $AG,PQ,RS,DH$ đồng quy tại $W$ . 

Ta sẽ chứng minh  $G,T,A',K$ thẳng hàng , điều này tương đương với $T(\parallel MN , A',M,N) = A(DG,PQ)$. Thật vậy , ta có $T(\parallel MN , A',M,N) = -1$

Gọi $AD$ cắt $(K), PQ$ lần lượt tại $J,X$. Do tứ giác $JSDR$ điều hòa nên $WJ$ cũng là tiếp tuyến của $(K)$ . Vậy ta có $A(DG,PQ) = (WXPQ) = -1$. Vậy suy ra $T,A',K,G$ thẳng hàng 

Thật vậy, do $T,G,A'$ thẳng hàng thì theo phần trên ta có $A'(DT,VU) = -1$ nên $MV,NU , A'T$ đồng quy . Mà $A'$ lại là trung điểm $MN$ nên $UV \parallel MN$

Untitled.png


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi manhtuan00: 12-06-2017 - 22:05






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hình học

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh