Chủ đề này có 1 trả lời

[Thuat ngu]

Dùng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn (1+i)^19 và công thức Moa-vrơ để tính (19C0)-(19C2)+(19C4)-...+(19C16)-(19C18).
P/s: Mình không có máy tính nên không gõ được Latex, mong mọi người thông cảm!

[huykinhcan99]

\begin{align*} (1+i)^{19}&=\sum_{k=0}^{19} \dbinom{19}{k} i^k \\ &=\sum_{k=0}^{4} \dbinom{19}{4k} i^{4k}+\sum_{k=0}^{4} \dbinom{19}{4k+1} i^{4k+1}+\sum_{k=0}^{4} \dbinom{19}{4k+2} i^{4k+2}+\sum_{k=0}^{4} \dbinom{19}{4k+3} i^{4k+3} \\ &=\left[\sum_{k=0}^{4} \dbinom{19}{4k}-\sum_{k=0}^{4} \dbinom{19}{4k+2} i^{4k+2}\right]+i\left[\sum_{k=0}^{4} \dbinom{19}{4k+1} -\sum_{k=0}^{4} \dbinom{19}{4k+3} \right] \end{align*}

 

Mặt khác, ta có $(1+i)^{19}=\left[\sqrt{2} \left(\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin \dfrac{\pi}{4}\right)\right]^{19}=\left(\sqrt{2}\right)^{19} \left(\cos \dfrac{19\pi}{4} +i\sin \dfrac{19\pi}{4}\right)=-2^9+i.2^9$.

 

Vậy, ta có ngay

\[\sum_{k=0}^{4} \dbinom{19}{4k}-\sum_{k=0}^{4} \dbinom{19}{4k+2} i^{4k+2}=-2^9\]