Đến nội dung

Hình ảnh

Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z+xyz=4$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
deuthatday

deuthatday

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 18 Bài viết
Mọi người cho mình hỏi bài này với ạ:
Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z+xyz=4$. Chứng minh rằng:
\[\left( {1 + xy + \frac{y}{z}} \right)\left( {1 + yz + \frac{z}{x}} \right)\left( {1 + zx + \frac{x}{y}} \right) \ge 27\]

#2
victoranh

victoranh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 102 Bài viết

số thực chứ không dương à bạn


-----Đừng chọn sống an nhàn trong những năm tháng mà bạn "chịu khổ được"-----


#3
God Guys

God Guys

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 9 Bài viết

đề thi chuyên Trần Hưng Đạo - Bình Thuận năm nay nhỉ :)



#4
Trinh Huu An

Trinh Huu An

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 52 Bài viết

Sử dụng bá đạo thức $AM-GM$: $VT=\sum \frac{a+b}{c^{2}\sqrt[3]{a^{3}+1}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )}{\sqrt[3]{\left ( a^{3}+1 \right )\left ( b^{3}+1 \right )\left ( c^{3}+ 1\right )}}}$

 

Vậy ta chỉ cần chứng minh: $\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )\geq 4\sqrt[3]{\left ( a^{2}+bc \right )\left ( b^{2}+ac \right )\left ( c^{2}+ab \right )}$

 

Ta lại có: $\left ( a^{2}+bc \right )\left ( ac+ab \right )\leq \frac{\left ( a+b \right )^{2}\left ( a+c \right )^{2}}{4}$.

 

Xây dựng các bất đẳng thức tương tự rồi nhân lại, ta được:

 

$\left ( a^{2}+bc \right )\left ( b^{2}+ac \right )\left ( c^{2}+ab \right )\leq \frac{1}{64}\left ( a+b \right )^{3}\left ( b+c \right )^{3}\left ( c+a \right )^{3}\\\Leftrightarrow \left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )\geq 4\sqrt[3]{\left ( a^{2}+bc \right )\left ( b^{2}+ac \right )\left ( c^{2}+ab \right )}$

 

Ta có điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$ 

 

   :ukliam2:  Nothing no can :ukliam2:

                      :wub:  ﻃ☺ﻵe♥HT fѲ₤ﻍѵҽr :wub:

Có những thứ tưởng chừng như trong lòng bàn tay nhưng bạn lại không nắm được nó.

Đừng chọn cuộc sống an nhàn khi mà bạn còn chịu khổ được.





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh