Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z+xyz=4$
#1
Đã gửi 13-06-2017 - 21:22
Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z+xyz=4$. Chứng minh rằng:
\[\left( {1 + xy + \frac{y}{z}} \right)\left( {1 + yz + \frac{z}{x}} \right)\left( {1 + zx + \frac{x}{y}} \right) \ge 27\]
#2
Đã gửi 13-06-2017 - 21:31
số thực chứ không dương à bạn
-----Đừng chọn sống an nhàn trong những năm tháng mà bạn "chịu khổ được"-----
#3
Đã gửi 13-06-2017 - 22:24
đề thi chuyên Trần Hưng Đạo - Bình Thuận năm nay nhỉ
#4
Đã gửi 13-06-2017 - 23:10
Sử dụng bá đạo thức $AM-GM$: $VT=\sum \frac{a+b}{c^{2}\sqrt[3]{a^{3}+1}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )}{\sqrt[3]{\left ( a^{3}+1 \right )\left ( b^{3}+1 \right )\left ( c^{3}+ 1\right )}}}$
Vậy ta chỉ cần chứng minh: $\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )\geq 4\sqrt[3]{\left ( a^{2}+bc \right )\left ( b^{2}+ac \right )\left ( c^{2}+ab \right )}$
Ta lại có: $\left ( a^{2}+bc \right )\left ( ac+ab \right )\leq \frac{\left ( a+b \right )^{2}\left ( a+c \right )^{2}}{4}$.
Xây dựng các bất đẳng thức tương tự rồi nhân lại, ta được:
$\left ( a^{2}+bc \right )\left ( b^{2}+ac \right )\left ( c^{2}+ab \right )\leq \frac{1}{64}\left ( a+b \right )^{3}\left ( b+c \right )^{3}\left ( c+a \right )^{3}\\\Leftrightarrow \left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )\geq 4\sqrt[3]{\left ( a^{2}+bc \right )\left ( b^{2}+ac \right )\left ( c^{2}+ab \right )}$
Ta có điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$
Nothing no can
ﻃ☺ﻵe♥HT fѲ₤ﻍѵҽr
Có những thứ tưởng chừng như trong lòng bàn tay nhưng bạn lại không nắm được nó.
Đừng chọn cuộc sống an nhàn khi mà bạn còn chịu khổ được.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh