Chủ đề này có 1 trả lời

[NTMFlashNo1]

Cho $a,b,c$ là 3 cạnh 1 tam giác.Chứng minh:

$\frac{(b+c-a)^{4}}{a(a+b-c)}+\frac{(c+a-b)^{4}}{b(b+c-a)}+\frac{(a+b-c)^{4}}{c(c+a-b)}\geq ab+bc+ca$









P/s: Greece MO 2007

[Duy Thai2002]

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng engel,ta có:

$\sum \frac{(b+c-a)^{4}}{a(a+b-c)}\geq \frac{(\sum(b+c-a)^{2})^{2}}{\sum a^{2}}$

Đặt $b+c-a=x,c+a-b=y, a+b-c=z$

$\rightarrow \frac{(\sum(b+c-a)^{2})^{2}}{\sum a^{2}}$=$\frac{4(\sum x^{2})^{2}}{\sum (x+y)^{2}}\geq \frac{4(\sum x^{2})^{2}}{2\sum x^{2}+y^{2}}$(Cauchy-Schwarz)= $\sum x^{2}$

Tiếp tục Cauchy-Schwarz một lần nữa, ta được:

$\sum x^{2}\geq \frac{1}{3}(\sum x)^{2}=\frac{1}{3}(\sum a)^{2}\geq \sum ab$

=> $\frac{(b+c-a)^{4}}{a(a+b-c)}+\frac{(c+a-b)^{4}}{b(b+c-a)}+\frac{(a+b-c)^{4}}{c(c+a-b)}\geq ab+bc+ca$.Đằng thức xảy ra <=> $\Delta ABC đều$ (Q.E.D)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienduc: 14-06-2017 - 20:58