Chủ đề này có 8 trả lời

[Baoriven]

Cho $a,b,c> 0$ và thỏa mãn: $abc=1$. Chứng minh rằng:

$a^2+b^2+c^2+a+b+c\geq \frac{18}{a+b+c}$

[trieutuyennham]

Do abc=1 nên $a+b+c\geq 3$

Ta có $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{3}$

$\Rightarrow$ BĐT $\Leftrightarrow$ $(a+b+c)^{3}+3(a+b+c)^{2}\geq 54$

Đúng do $a+b+c\geq 3$

[Duy Thai2002]

<=> $(a^{2}+b^{2}+c^{2}+a+b+c)(a+b+c)\geq 18$

Áp dụng AM-GM, ta có:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+a+b+c\geq $\sqrt[6]{(abc)^{3}}=6(abc=1)$

a+b+c$\geq 3\sqrt[3]{abc}=3(abc=1)$

=>($a^{2}+b^{2}+c^{2}+a+b+c)(a+b+c)\geq 6.3=18$

=>($a^{2}+b^{2}+c^{2}+a+b+c)(a+b+c) $\geq 18$.Dấu bằng xảy ra <=>a=b=c=1

=>Q.E.D

[Baoriven]

Ta có: $a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3=2abc+1$.

Suy ra: $a^2+b^2+c^2+a+b+c\geq a^2+b^2+c^2+2abc+1$.

Ta có BĐT quen thuôc $a^2+b^2+c^2+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$.

Suy ra: $a^2+b^2+c^2+a+b+c\geq 2(ab+bc+ca)\geq 2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq \frac{18}{a+b+c}$.

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$.

[minhducndc]

b đ thức $\Leftrightarrow$ $(a^{2}+b^{2}+c^{2}+a+b+c)(a+b+c)\geqslant 18$

áp dụng bất dẳng thức AM-GM cho 6 số dương ta có

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+a+b+c\geq 6\sqrt[6]{a^{2}.b^{2}.c^{2}.a.b.c}= 6$(vì abc=1)

tương tự bdt AM-GM cho 3 số ta được$a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3$

nhân 2 vế của bdt ta được dpcm

[Uchiha sisui]

Bài này sử dụng PQR     đơn giản như sau: 

 

Đặt $p= a+b+c, q=ab+bc+ca, r=abc$

 

Áp dụng BĐT AM-GM ta có: $p=a+b+c\geq 3\sqrt{abc}=3\Rightarrow p-3\geq 0$ (*)

 

Sử dụng bất đẳng thức SCHUR ta có $r\geq \frac{p(4q-p^{2})}{9}$$\Rightarrow 4pq\leq p^{3}+9$

 

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: $p^{3}-2pq+p^{2}\geq 18$

 

$\Leftrightarrow 2p^{3}-4pq+2p^{2}-36\geq 0 \Leftrightarrow p^{3}+2p^{2}-45\geq 0$

 

$\Leftrightarrow (p-3)(p^{2}+5p+15)\geq 0$     (**)

 

Theo (*) thì Bất đẳng thức (**) luôn đúng. Vậy ta có điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

   

 

 

[Baoriven]

Bài này không khó, mà toàn xài chiêu khó  

[Uchiha sisui]

Bản chất vẫn là Schur cái PQR ghi lại cho đẹp mắt thôi

[AnhTran2911]

Bài ni cũng đố 

Đương nhiên với giả thiết $abc=1$ thì áp dụng AM-GM cơ bản $VT\geq{6}\geq{VP}$