Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh HS đi qua trung điểm M của BC

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1
truongkontum

truongkontum

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 3 Bài viết

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O). Đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H. Tiếp tuyến tại B,C cắt nhau tại G. GD cắt EF tại S. Chứng minh HS đi qua trung điểm M của BC



#2
trihoctoan

trihoctoan

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 24 Bài viết

Xem trong sách "cẩm nang vẽ thêm hình phụ trong hình học phẳng " của thầy Nguyễn Đức tấn nhé ! (Chương cuối ).



#3
quantv2006

quantv2006

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 162 Bài viết

Xem trong sách "cẩm nang vẽ thêm hình phụ trong hình học phẳng " của thầy Nguyễn Đức tấn nhé ! (Chương cuối ).

Bạn trả lời thì cũng nên nói rõ. Nói như thế này rất khó!



#4
anhquannbk

anhquannbk

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 477 Bài viết

Bổ đề: Cho $ \triangle ABC $, $ P$ điểm thuộc phân giác trong góc $BAC$.$ E, F $ theo thứ tự hình chiếu của $P$ lên AB, AC,$Q$ giao điểm của đường thẳng qua $P$ vuông góc với $BC$ $EF$. Khi đó $AQ$ đi qua trung điểm $BC$.

Gọi $K, L$ giao điểm của $ GB, GC$ với $EF$,

$T$ giao điểm của $EF$ $BC$ $ AO $ cắt $BC$ tại $X$, $ GX$ cắt $KL$ tại $J$

Ta $ (TSKL)=G(TSKL)=(TDBC)=-1$, theo bổ đề thì $ J$ trung điểm $KL$.

suy ra $TS.TJ=TK.TL$ (hệ thức Maclaurin)

Dễ dàng chứng minh được $ MK \parallel CF, ML \parallel BE$,

từ đó $ \angle BMK =\angle BCF =\angle BEF =\angle KLM $

suy ra $ (MKL)$ tiếp xúc $BC$ suy ra $TK.TL=TM^2$ nên $ TS.TJ =TM^2$ suy ra $(SJM)$ tiếp xúc $BC$,

nên $ \angle BMS = \angle MJT$

Ta $ \dfrac{MC}{JL}=\dfrac{BC}{KL}=\dfrac{HC}{ML}$

do $ \dfrac{ML}{KL}=\dfrac{cosACB}{sinBAC}=\dfrac{HC}{BC}$ suy ra $ \triangle HMC \sim \triangle MJL$

do đó $ \angle BMH =\angle MJT$

Ta $ \angle BMS =\angle BMH$

suy ra $ \overline{H,M,S}$ hay $HS$ qua trung điểm $BC$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhquannbk: 16-06-2017 - 21:04


#5
quantv2006

quantv2006

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 162 Bài viết

GXX là gì à bạn anhquanbk.

 

Nếu gọi T là giao của EF và BC, N là giao của AO và EF, M là trung điểm của BC. Ta có AO vuông góc với EF tại N.

 

Ta cũng có TO vuông góc với SD $\Rightarrow \angle OTM=\angle SHD$

 

TMON là tứ giác nội tiếp $\Rightarrow \angle OTM=\angle ONM$

 

Vậy $\angle ONM=\angle SHD$ $\Rightarrow \angle TDS=\angle TNM$

 

Vậy tứ giác DMNS nội tiếp.

 

TA cắt (O) tại K khác A. Ta có K, H, M thẳng hàng.

 

Ta có TK.TA=TE.TF=TD.TM=TS.TN. Vậy AKSN là tứ giác nội tiếp $\Rightarrow \angle AKS=90^0$

 

Do $\angle AKM=90^0$ nên S nằm trên KM. Vậy K, S, H, M thẳng hàng.

 

 



#6
ilovekimchiwinkle

ilovekimchiwinkle

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 9 Bài viết

Tại sao TO lại vuông góc với SD ạ ? 



#7
NHN

NHN

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 84 Bài viết

thêm vài cách nữa trong link sau https://artofproblem...1348933p7417362



#8
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

Đường tròn đường kính $AH$ cắt $(O)$ tại $L$ khác $A$. Khi đó ta có $AL, EF, BC$ đồng quy nên $A(LD, BC)=-1$.

$AD$ cắt $(O)$ lần thứ $2$ tại $K$ thì $(LK, BC)=-1$ nên $KL$ đi qua $G$. Giả sử $HM$ cắt $EF$ tại $S$ thì $S, H, M, L$ thẳng hàng.

Do $D$ là trung điểm $HK$ nên $G(DM, HL)=-1=(SM, HL)=G(SM, HL)$ hay $DG$ đi qua $S$


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#9
Nike Adidas

Nike Adidas

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 75 Bài viết

bài nhìn đơn giản mà chẳng dể chút nào


" Khi ta đã quyết định con đường cho mình, kẻ được nói ta ngu ngốc chỉ có bản thân ta mà thôi. " _ Rononoa Zoro.





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh