Chủ đề này có 2 trả lời

[nguyenduy287]

Tìm hàm $f$ thỏa:

1. $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ và $f(y-f(x))=f(x^{2002}-y)-2001yf(x).$

2. $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ và $f(f(x-y))=f(x)f(y)-f(x)+f(y)-xy.$

3. $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ và $f(x+y)-f(x-y)=2(f(x)+f(y)).$

4. $f: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}$ và $f(f(x)+y)=x+f(y).$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 13-07-2017 - 22:59

[Zeref]

4.

$f(f(x)+y)=x+f(y)$ (*)

Dễ cm $f$ đơn ánh.

Gán $x=y=0$ vào (*), ta được $f(f(0))=f(0) \Rightarrow f(0)=0.$

Gán $y=0$ vào (*), ta được $f(f(x))=x \Rightarrow f$ toàn ánh.

Gán $x=f(x)$ vào (*), ta được $f(f(f(x))+y)=f(x)+f(y)$, hay $f(x+y)=f(x)+f(y) \Rightarrow f(x)=ax.$

Thay vào pt ban đầu, suy ra $a=1.$ Thử lại thấy $f(x)=x$ thoả.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 13-07-2017 - 23:01

[Zeref]

3. Giả sử $f$ thoả bài toán, gán $y=0$, ta tìm được $f(x)=-f(0).$ Thay vào  pt ban đầu tìm được $f(x)=-f(0)=0.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 13-07-2017 - 23:00