Chủ đề này có 2 trả lời

[Zz Isaac Newton Zz]

Cho dãy số $(x_{n})$ xác định bởi $x_{1}=2, x_{2}=10, x_{n+2}=\frac{8x_{n+1}^{2}-x_{n+1}.x_{n}}{x_{n+1}+x_{n}}, n=1, 2, 3...$ Với mỗi số nguyên dương $n,$ đặt $y_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k}}{x_{k+1}+x_{k}+3}.$ Chứng minh rằng dãy $y_{n}$ có giới hạn hữa hạn khi $n$ dần đến vô cùng và tìm giới hạn đó.

 

 

 

[nhungvienkimcuong]

Cho dãy số $(x_{n})$ xác định bởi $x_{1}=2, x_{2}=10, x_{n+2}=\frac{8x_{n+1}^{2}-x_{n+1}.x_{n}}{x_{n+1}+x_{n}}, n=1, 2, 3...$ Với mỗi số nguyên dương $n,$ đặt $y_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k}}{x_{k+1}+x_{k}+3}.$ Chứng minh rằng dãy $y_{n}$ có giới hạn hữa hạn khi $n$ dần đến vô cùng và tìm giới hạn đó.

bài hay thật đấy =)) cách làm sau đây của mình có hơi mò mẫm,mong mọi người sẽ có cách tự nhiên hơn

từ giả thiết ta có được dãy $(x_n):\left\{\begin{matrix} x_1=2,x_2=10\\x_{n+2}=7x_{n+1}-x_n-3 \end{matrix}\right.$

xét dãy $(a_n):\left\{\begin{matrix} a_1=6,a_2=15\\a_{n+2}=3a_{n+1}-a_n \end{matrix}\right.$

từ $2$ dãy trên ta có các mối liên hệ sau

$\begin{matrix} 3\left ( x_{n+1}+x_n+3 \right )=a_{n-1}a_n\\a_{n-1}a_{n+3}-a_{n+1}^2=81,\ \ \forall n \end{matrix}$

ta có

$\frac{y_n}{3}=\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^k}{3\left ( x_{k+1}+x_k+3 \right )}=\sum_{k=2}^{n}\frac{(-1)^k}{a_{k-1}a_{k+1}}-\frac{1}{45}=\sum_{k=1}^{\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor}\frac{1}{a_{2k-1}a_{2k+1}}-\sum_{k=1}^{\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor}\frac{1}{a_{2k}a_{2k+2}}-\frac{1}{45}$

đặt 

$b_n=\sum_{k=1}^{\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor}\frac{1}{a_{2k-1}a_{2k+1}}$

$c_n=\sum_{k=1}^{\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor}\frac{1}{a_{2k}a_{2k+2}} $

ta có

$81b_n=\sum_{k=1}^{\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor}\frac{81}{a_{2k-1}a_{2k+1}}=\sum_{k=1}^{\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor-1}\frac{a_{2k-1}a_{2k+3}-a_{2k+1}^2}{a_{2k-1}a_{2k+1}}=\sum_{k=1}^{\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor-1}\left ( \frac{a_{2k+3}}{a_{2k+1}}-\frac{a_{2k+1}}{a_{2k-1}} \right )=\frac{a_{2\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor+1}}{a_{2\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor-1}}-\frac{13}{2}$

mặt khác ta dễ dáng tính được $\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{a_{n+2}}{a_n}=\frac{7+3\sqrt{5}}{2}$

do đó ta có

$\lim_{n\rightarrow +\infty} b_n=\frac{1}{81}\lim_{n\rightarrow +\infty}\left ( \frac{a_{2\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor+1}}{a_{2\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor-1}}-\frac{13}{2} \right )=\frac{1}{81}\left ( \frac{7+3\sqrt{5}}{2}-\frac{13}{2} \right )$

làm tương tự ta có

$\lim_{n\rightarrow +\infty}c_n=\frac{1}{81}\left ( \frac{7+3\sqrt{5}}{2}-\frac{34}{5} \right )$

do đó ta có

$\lim y_n=3\lim\left ( b_n-c_n-\frac{1}{45} \right )=\frac{-1}{18}$

[An Infinitesimal]

bài hay thật đấy =)) cách làm sau đây của mình có hơi mò mẫm,mong mọi người sẽ có cách tự nhiên hơn

từ giả thiết ta có được dãy $(x_n):\left\{\begin{matrix} x_1=2,x_2=10\\x_{n+2}=7x_{n+1}-x_n-3 \end{matrix}\right.$

xét dãy $(a_n):\left\{\begin{matrix} a_1=6,a_2=15\\a_{n+2}=3a_{n+1}-a_n \end{matrix}\right.$

từ $2$ dãy trên ta có các mối liên hệ sau

$\begin{matrix} 3\left ( x_{n+1}+x_n+3 \right )=a_{n-1}a_n\\a_{n-1}a_{n+3}-a_{n+1}^2=81,\ \ \forall n \end{matrix}$

ta có

$\frac{y_n}{3}=\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^k}{3\left ( x_{k+1}+x_k+3 \right )}=\sum_{k=2}^{n}\frac{(-1)^k}{a_{k-1}a_{k+1}}-\frac{1}{45}=\sum_{k=1}^{\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor}\frac{1}{a_{2k-1}a_{2k+1}}-\sum_{k=1}^{\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor}\frac{1}{a_{2k}a_{2k+2}}-\frac{1}{45}$

đặt 

$b_n=\sum_{k=1}^{\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor}\frac{1}{a_{2k-1}a_{2k+1}}$

$c_n=\sum_{k=1}^{\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor}\frac{1}{a_{2k}a_{2k+2}} $

ta có

$81b_n=\sum_{k=1}^{\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor}\frac{81}{a_{2k-1}a_{2k+1}}=\sum_{k=1}^{\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor-1}\frac{a_{2k-1}a_{2k+3}-a_{2k+1}^2}{a_{2k-1}a_{2k+1}}=\sum_{k=1}^{\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor-1}\left ( \frac{a_{2k+3}}{a_{2k+1}}-\frac{a_{2k+1}}{a_{2k-1}} \right )=\frac{a_{2\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor+1}}{a_{2\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor-1}}-\frac{13}{2}$

mặt khác ta dễ dáng tính được $\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{a_{n+2}}{a_n}=\frac{7+3\sqrt{5}}{2}$

do đó ta có

$\lim_{n\rightarrow +\infty} b_n=\frac{1}{81}\lim_{n\rightarrow +\infty}\left ( \frac{a_{2\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor+1}}{a_{2\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor-1}}-\frac{13}{2} \right )=\frac{1}{81}\left ( \frac{7+3\sqrt{5}}{2}-\frac{13}{2} \right )$

làm tương tự ta có

$\lim_{n\rightarrow +\infty}c_n=\frac{1}{81}\left ( \frac{7+3\sqrt{5}}{2}-\frac{34}{5} \right )$

do đó ta có

$\lim y_n=3\lim\left ( b_n-c_n-\frac{1}{45} \right )=\frac{-1}{18}$

Làm sao bạn nghĩ đến dãy phụ $\{a_n\}$ thế?

Mình đang e ngại khi tính toán trực tiếp trên $\{x_{n}+x_{n}+3\}.$