Chủ đề này có 1 trả lời

[Zz Isaac Newton Zz]

Cho $n$ là một số nguyên dương lớn hơn $1.$ Chứng minh rằng phương trình $x^{n}=x^{2}+x+1$ có một nghiệm dương duy nhất, kí hiệu là $x_{n}.$ Hãy tìm số thực $a$ sao cho giới hạn $\lim_{n\rightarrow +\infty }n^{a}(x_{n}-x_{n+1})$ tồn tại, hữu hạn và khác không.

[An Infinitesimal]

Cho $n$ là một số nguyên dương lớn hơn $1.$ Chứng minh rằng phương trình $x^{n}=x^{2}+x+1$ có một nghiệm dương duy nhất, kí hiệu là $x_{n}.$ Hãy tìm số thực $a$ sao cho giới hạn $\lim_{n\rightarrow +\infty }n^{a}(x_{n}-x_{n+1})$ tồn tại, hữu hạn và khác không.

Có thể các nhận xét bên dưới sẽ không đi đến đích (sau khi viết ra xong thì mới biết được- vừa gõ vừa suy nghĩ, không biết ra thì chắc chắn không xong; hơn nữa, viết ra là động lực để xử lý nó đến cùng).

 

 

Đề bài đang xét: $n>2$ không phải $n>1$.

 

Vài nhận xét:

(i) Hiển nhiên $2>x_n>1 \, \forall n\in \mathbb{N}$,

(ii) Hiển nhiên $x_n= \sqrt[n]{x_n^2+x_n+1} \le \frac{n-1+ (x_n^2+x_n+1)}{n} <1+\frac{6}{n}\, \forall n\in \mathbb{N}$,

(ii) $\lim x_n=1$;

(iii) Số thực $a$ thỏa đề bài (nếu có) là duy nhất;

(iv)  Đặt ​$f_n(x)= x^{n}-x^{2}-x-1$ là hàm tăng trên $(1,2)$, và $f_{n}(x_{n+1})= x_{n+1}(1-x_{n+1})<0= f_{n}(x_n)\, \forall n\in \mathbb{N}$.
Do đó $\{x_n\}$ giảm.

(v) $|x_{n+1}-x_n|=$ Dùng ĐL Lagrange để đánh giá! Viết tiếp sau.

 

Tồn tại $c_n \in (x_{n+1}, x_n) \subset \left( x_{n+1}, 1+\frac{6}{n}\right)$ sao cho

\[-f_n(x_{n+1})= f_n(x_n) -f_n(x_{n+1})= f_n'(c_n) (x_n-x_{n+1}).\]

Suy ra \[x_n-x_{n+1}= \frac{1+x_{n+1}+x_{n+1}^2-x_{n+1}^n}{nc_{n}^{n-1}-2c_{n}-1}.\]

 

(vi) Nhận xét: tồn tại hai số thực dương $c, d$ sao cho $c_{n}^{n-1}-\frac{2c_{n}+1}{n} \in (c,d)$ với$\forall n\ge 3$.

(Sẽ kiểm tra lại nhận định này một cách cẩn thận!)

 

(vii) Bài toán qui về tìm số thực $a$ sao cho  $\lim -n^{a-1}f_n(x_{n+1})$ tồn tại hữu hạn và khác $0.$

 

(viii)  $-n^{a-1}f_n(x_{n+1})>0 \forall n\ge 3.$

 

(ix) Ta thử tìm  đánh giá "kẹp" cho  $-n^{a-1}f_n(x_{n+1})$.

(!!! Thật phức tạp :S ) 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi An Infinitesimal: 17-09-2017 - 10:33