Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 2 Bình chọn

Luyện tập sử dụng phương pháp PQR - Bất đẳng thức SCHUR


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 37 trả lời

#1 Uchiha sisui

Uchiha sisui

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 196 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 15-06-2017 - 11:12

 Ai cũng biết rằng ở thời điểm hiện tại nếu ai nghiên cứu về bất đẳng thức cũng biết đến cái tên pqr, bất đẳng thức SCHUR. Đây là một phương pháp mạnh cùng với bất đẳng thức schur có thể giải các bài toán liên quan đến đối xứng và hoán vị. Có nhiều topic trước đây đều đăng các bài toán về Bất Đẳng Thức rất hay nhưng chưa có topic nào nói về việc luyện tập cho chủ đề sử dụng phương pháp này. Với mong muốn chuẩn bị cho kì thi học sinh giỏi sắp tới, tôi xin lập ra topic này để mọi người chúng ta ai cũng nâng cao kĩ năng này và hiểu thêm về sức mạnh của nó !   :closedeyes:

 

**** Trên mạng hiện tại đã xuất hiện nhiều tài liệu liên quan đến phần này vì thế tôi xin phép không up tài liệu này nữa mà xin áp dụng vào các bài tập luôn. Mong mọi người ủng hộ và up bài nhiều hơn để giữ lửa cho topic! Phạm vi của chủ đề là các bài toán bất đẳng thức ba biến sử dụng được phương pháp pqr - Bất đẳng thức Schur . Những bài toán không sử dụng phương pháp này tác giả sẽ xóa bài, mong mọi người thông cảm. Các bạn nên ghi nguồn cho từng bài toán, tên tác giả của bài toán đó, nếu không nhớ rõ để tên '' sưu tầm''. 

 

 

Sau đây xin đề xuất một số bài toán hay sau:

 

Bài 1. Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện $a+b+c=1$. Chứng minh rằng:

 

$\sqrt{\frac{a}{2a^{2}+bc}} + \sqrt{\frac{b}{2b^{2}+ca}} + \sqrt{\frac{c}{2c^{2}+ab}} \geq 2$  :closedeyes:

 

                                                                   (Võ Quốc Bá Cẩn)

 

Bài 2. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng:

 

$\frac{4}{81(ab+bc+ca)} + abc \geq \frac{5}{27}$   :closedeyes:

 

                                                                   (Võ Thành Văn)

 

Bài 3. Cho các số không âm a, b, c thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:

 

$\frac{1}{6-ab} + \frac{1}{6-bc} + \frac{1}{6-ca} \leq \frac{3}{5}$  :icon6:

 

                                                                        (Vasile Cirtoaje)

 

Bài 4. Chứng minh rằng với mọi $a, b, c\geq 0$ ta có:

 

$2(a^{2} + b^{2} + c^{2}) + abc + 8\geq 5(a+b+c)$

 

(Trần Nam Dũng)

 

                                                  

 

 

 

                            

 

 

 



#2 tuaneee111

tuaneee111

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 175 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ninh Bình
  • Sở thích:Học toán$$\boxed{\heartsuit \prec VMF \succ \heartsuit }$$

Đã gửi 15-06-2017 - 11:34

Có một topic lâu rồi cx nói về cái này nha: https://diendantoanh...p-đổi-biến-pqr/

Nhưng bạn mở topic này cx rất tốt mọi người một lần nữa đc thảo luận lại về vấn đề này :icon6:  :D  :like


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuaneee111: 15-06-2017 - 11:36

$$\boxed{\boxed{I\heartsuit MATHEMATICAL}}$$

Blog của tôi

:luoi: Sức hấp dẫn của toán học mãnh liệt đến nỗi tôi bắt đầu sao nhãng các môn học khác - Sofia Vasilyevna Kovalevskaya :lol:


#3 Uchiha sisui

Uchiha sisui

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 196 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 15-06-2017 - 11:46

Có một topic lâu rồi cx nói về cái này nha: https://diendantoanh...p-đổi-biến-pqr/

Nhưng bạn mở topic này cx rất tốt mọi người một lần nữa đc thảo luận lại về vấn đề này :icon6:  :D  :like

Hi bạn, topic trên là của anh Võ Thanh Văn một topic rất hay, mình lập topic này với mục đích tìm những bài toán khác và hay hơn để sử dụng cũng như luyện tập về phương pháp này !



#4 Hoang Dinh Nhat

Hoang Dinh Nhat

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 402 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị
  • Sở thích:Gái và toán

Đã gửi 15-06-2017 - 11:50

 Ai cũng biết rằng ở thời điểm hiện tại nếu ai nghiên cứu về bất đẳng thức cũng biết đến cái tên pqr, bất đẳng thức SCHUR. Đây là một phương pháp mạnh cùng với bất đẳng thức schur có thể giải các bài toán liên quan đến đối xứng và hoán vị. Có nhiều topic trước đây đều đăng các bài toán về Bất Đẳng Thức rất hay nhưng chưa có topic nào nói về việc luyện tập cho chủ đề sử dụng phương pháp này. Với mong muốn chuẩn bị cho kì thi học sinh giỏi sắp tới, tôi xin lập ra topic này để mọi người chúng ta ai cũng nâng cao kĩ năng này và hiểu thêm về sức mạnh của nó !   :closedeyes:

 

**** Trên mạng hiện tại đã xuất hiện nhiều tài liệu liên quan đến phần này vì thế tôi xin phép không up tài liệu này nữa mà xin áp dụng vào các bài tập luôn. Mong mọi người ủng hộ và up bài nhiều hơn để giữ lửa cho topic! Phạm vi của chủ đề là các bài toán bất đẳng thức ba biến sử dụng được phương pháp pqr - Bất đẳng thức Schur . Những bài toán không sử dụng phương pháp này tác giả sẽ xóa bài, mong mọi người thông cảm. Các bạn nên ghi nguồn cho từng bài toán, tên tác giả của bài toán đó, nếu không nhớ rõ để tên '' sưu tầm''. 

 

 

Sau đây xin đề xuất một số bài toán hay sau:

 

Bài 1. Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện $a+b+c=1$. Chứng minh rằng:

 

$\sqrt{\frac{a}{2a^{2}+bc}} + \sqrt{\frac{b}{2b^{2}+ca}} + \sqrt{\frac{c}{2c^{2}+ab}} \geq 2$  :closedeyes:

 

                                                                   (Võ Quốc Bá Cẩn)

 

Bài 2. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng:

 

$\frac{4}{81(ab+bc+ca)} + abc \geq \frac{5}{27}$   :closedeyes:

 

                                                                   (Võ Thành Văn)

 

Bài 3. Cho các số không âm a, b, c thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:

 

$\frac{1}{6-ab} + \frac{1}{6-bc} + \frac{1}{6-ca} \leq \frac{3}{5}$  :icon6:

 

                                                                        (Vasile Cirtoaje)

 

Bài 4. Chứng minh rằng với mọi $a, b, c\geq 0$ ta có:

 

$2(a^{2} + b^{2} + c^{2}) + abc + 8\geq 5(a+b+c)$

 

(Trần Nam Dũng)

 

Câu 4: Đã có trong topic của Võ Thành Văn


Chấp nhận giới hạn của bản thân, nhưng đừng bao giờ bỏ cuộc

 

 

 

 


#5 Uchiha sisui

Uchiha sisui

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 196 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 15-06-2017 - 11:57

Câu 4: Đã có trong topic của Võ Thành Văn

Cảm ơn bạn nhưng mình đã ghi nguồn nếu có thể mong bạn cùng chung vui đăng bài cho topic !



#6 tuaneee111

tuaneee111

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 175 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ninh Bình
  • Sở thích:Học toán$$\boxed{\heartsuit \prec VMF \succ \heartsuit }$$

Đã gửi 15-06-2017 - 12:00

Cảm ơn bạn nhưng mình đã ghi nguồn nếu có thể mong bạn cùng chung vui đăng bài cho topic !

Ơ thế những bài trong đây đều phải giải theo pqr hả bn?


$$\boxed{\boxed{I\heartsuit MATHEMATICAL}}$$

Blog của tôi

:luoi: Sức hấp dẫn của toán học mãnh liệt đến nỗi tôi bắt đầu sao nhãng các môn học khác - Sofia Vasilyevna Kovalevskaya :lol:


#7 Uchiha sisui

Uchiha sisui

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 196 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 15-06-2017 - 12:36

Ơ thế những bài trong đây đều phải giải theo pqr hả bn?

SCHUR Hoặc pqr đều được nhé, chỉ hai phương pháp đó đọc kĩ tiêu đề đi bạn !



#8 Uchiha sisui

Uchiha sisui

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 196 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 15-06-2017 - 13:05

Xin phép '' xử'' BÀI 4 trước vì bài này khá dễ  :closedeyes: , hơi dài tí  :icon6:

 

Bài 4. Đặt $p=a+b+c,q=ab+bc+ca,r=abc$

 

Chú ý rằng dấu bằng của bài toán xảy ra tại $a=b=c=1$ từ đó ta có các đánh giá sau:

 

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta sẽ có $2abc+1\geq 3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}\geq \frac{9abc}{a+b+c}$

 

$\Rightarrow 2r+1\geq \frac{9r}{p}$

 

Cũng sử dụng BĐT AM-GM ta có $p^{3}\geq 27r$

 

Áp dụng BĐT Schur ta có: $r\geq \frac{p(4q-p^{2})}{9}\Rightarrow 4q\leq p^{2}+\frac{9r}{p}$

 

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :

 

$2(p^{2}-2q)+r+8-5p\geq 0\Leftrightarrow 4(p^{2}-2q)+(2r+1)+15-10p\geq 0$

 

$\Leftrightarrow 4(p^{2}-2q)+\frac{9r}{p}+15-10p\geq 0\Leftrightarrow 4p^{2}-2p^{2}-\frac{9r}{p}+15-10p\geq 0$

 

$\Leftrightarrow 2p^{3}-9r-10p^{2}+15p\geq 0\Leftrightarrow 2p^{3}-\frac{p^{3}}{3}-10p^{2}+15p\geq 0\Leftrightarrow 5p^{3}-30p^{2}+45p\geq 0$

$\Leftrightarrow p(p-3)^{2}\geq 0$

 

Bất đẳng thức cuối luôn đúng $\Rightarrow Q.E.D$

 

 

 

 



#9 Uchiha sisui

Uchiha sisui

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 196 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 15-06-2017 - 13:17

''Xử'' nốt bài 2  :closedeyes: ! Bài này khá nhẹ nhàng nhưng tính toán hơi ''trâu''  :angry:

 

Bài 2. Đặt $p=a+b+c=1,q=ab+bc+ca,r=abc$

 

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

 

$\frac{4}{81q}+r\geq \frac{5}{27}$   (*)

 

Sử dụng bất đẳng thức Schur thì ta có $r\geq \frac{p(4q-p^{2})}{9}=\frac{4q-1}{9}$

 

Bất đẳng thức (*) tương đương với: $\frac{4}{81q}+\frac{4q-1}{9}\geq \frac{5}{27}\Leftrightarrow 8748q^{2}-5832q+972\geq 0\Leftrightarrow (3q-1)^{2}\geq 0$

 

Bất đẳng thức cuối luôn đúng. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$

 

 



#10 Uchiha sisui

Uchiha sisui

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 196 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 15-06-2017 - 13:29

:closedeyes:  :closedeyes:  :icon6: Tiếp tục với những bài toán mới ! :closedeyes:

 

Bài 5. Cho $a, b, c>0$ thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng:

 

$2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+12\geq 3(a+b+c)+3(ab+bc+ca)$

 

                                                                  (Balkan Contest)

 

Bài 6. Cho $a, b, c\geq 0$ thỏa mãn $ab+bc+ca=3$. Chứng minh rằng: $a^{3}+b^{3}+c^{3}+7abc\geq 10$

 

                                                                 (Vasile Cirtoaje)

 

Bài 7. Cho $x,y,z\geq 0$ sao cho không có hai số nào trong chúng đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng:

 

$(xy+yz+zx)[\frac{1}{(x+y)^{2}}+\frac{1}{(y+z)^{2}}+\frac{1}{(z+x)^{2}}]\geq \frac{9}{4}$

 

                                                        (Iran 1996)

 

 

 

 

 

 

 



#11 Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1242 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:$\boxed{\textrm{CTG}}$ $\boxed{\textrm{~1518~}}$
  • Sở thích:$\mathfrak{MATHS}$

Đã gửi 15-06-2017 - 14:42

Bài 6: Có thể tham khảo ở đây: https://diendantoanh...b3c37abcgeq-10/

Ta có: $a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-3(a+b+c)(ab+bc+ca)+3abc$.

Đặt: $t=a+b+c,(t\geq \sqrt{3(ab+bc+ca)}=3)$. Ta cần chứng minh BĐT: $10abc+t^3-9t-10\geq 0$.

Theo BĐT $Schur$ bậc $3$ , ta có: $(a+b+c)^3+9abc\geq 4(a+b+c)(ab+bc+ca)\Rightarrow 9abc\geq 12t-t^3$.

(*) $t\geq 2\sqrt{3}\Rightarrow 10abc+t^3-9t-10> 12t-9t-10=3t-10> 0.$

(*) $3\leq t\leq 2\sqrt{3}\Rightarrow abc\geq \frac{12t-t^3}{9}$.

Ta cần c/m: $\frac{10}{9}(12t-t^3)+t^3-9t-10\geq 0\Leftrightarrow (t-3)[3(4-t)+(16-t^2)+2]\geq 0$.

BĐT cuối đúng.

Dấu bằng xảy ra khi: $a=b=c=1$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 15-06-2017 - 15:59

$\mathfrak{LeHoangBao - 4M - CTG1518}$

#12 Uchiha sisui

Uchiha sisui

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 196 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 15-06-2017 - 15:32

Bài 6: Có thể tham khảo ở đây: https://diendantoanh...b3c37abcgeq-10/

Hi bạn có thể gõ lại được không , tránh trường hợp link hỏng



#13 Uchiha sisui

Uchiha sisui

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 196 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 16-06-2017 - 09:12

 Bài 3.  :closedeyes: 

 

Đặt $p=a+b+c,q=ab+bc+ca,r=abc$

 

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: $108-48q+39r-3r^{2}\geq 0\Leftrightarrow 36-16q+13r-r^{2}\geq 0$ (*)

 

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta dễ chứng minh được: $r\leq 1$

 

Áp dụng bất đẳng thức Schur ta có: $r\geq \frac{p(4q-p^{2})}{9}$$\Rightarrow 3r\geq 4q-9$

 

Kết hợp hai bất đẳng thức vào bất đẳng thức (*), ta có: $36-16q+13r-r^{2}=4(3r-4q+9)+r(1-r)\geq 0$

 

Bất đẳng thức cuối luôn đúng. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$ hoặc $a=0,b=c=\frac{3}{2}$ và các hoán vị.

 

P/s: Bài này cũng xử được bằng ''Phân tách Bất đẳng thức Trê-Bư-Sép'' nhưng chủ đề này là PQR nên tôi sẽ không up lời giải bằng Trê Bư Sép ở đây!

 

 



#14 Uchiha sisui

Uchiha sisui

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 196 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 16-06-2017 - 10:18

Toàn phải chém một mình  :(

 

Bài 7. 

 

Đặt $p=a+b+c, q=ab+bc+ca , r=abc$

 

Sử dụng AM-GM ta dễ dàng chứng minh được BĐT sau: $(a+b+c)(ab+bc+ca)\geq 9abc$ $\Rightarrow pq\geq 9r$ (3)

 

Sử dụng BĐT Schur bậc 3 và bậc 4 ta có hai bất đẳng thức sau : 

 

$p^{3}-4pq+9r\geq 0$           (1)

 

$p^{4}-5p^{2}q+4q^{2}+6pr\geq 0$          (2)

 

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: $q\frac{(p^{2}+p)^{2}-4p(pq-r)}{(pq-r)^{2}}\geq \frac{9}{4}$

 

$\Leftrightarrow 4p^{4}q-17p^{2}q^{2}+4q^{3}+34pqr-9r^{2}\geq 0$

 

$3pq(p^{3}-4pq+9r)+q(p^{4}-5p^{2}q+4q^{2}+6pr)+r(pq-9r)\geq 0$

 

Bất đẳng thức cuối luôn đúng theo (1), (2), (3) $\Rightarrow Q.E.D$

 

 



#15 Uchiha sisui

Uchiha sisui

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 196 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 16-06-2017 - 13:59

Bài 5.

 

Đặt $p=a+b+c,q=ab+bc+ca,r=abc=1$

 

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: $2(p^{2}-2q)+12\geq 3p+3q\Leftrightarrow 2p^{2}-3p-7q+12\geq 0$

 

Áp dụng Bất Đẳng Thức Schur ta có: $1=r\geq \frac{p(4q-p^{2})}{9} \Rightarrow q\leq \frac{p^{3}+9}{4p}$

 

Do đó ta phải chứng minh: $2p^{2}-3p-\frac{7(p^{3}+9)}{4p}+12\geq 0\Leftrightarrow (p-3)(p^{2}-9p+21)\geq 0$

 

Bất đẳng thức cuối luôn đúng do $p=a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3$ (theo bất đẳng thức AM-GM)

 

Và $p^{2}-9p+21> 0$  $(\forall p> 0)$

 

Do đó Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$

 

 



#16 Uchiha sisui

Uchiha sisui

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 196 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 16-06-2017 - 14:15

Bài mới :)

 

Bài 8. Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng: $a^{4}(b+c)+b^{4}(c+a)+c^{4}(a+b)\leq \frac{1}{12}(a+b+c)^{5}$

 

 

Bài 9. Cho $a,$ $b,$ $c$ $> 0$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:

 

$\frac{a^{2}b}{4-bc}+\frac{b^{2}c}{4-ca}+\frac{c^{2}a}{4-ab}\leq 1$

 

(Phạm Kim Hùng)

 

Bài 10. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:

 

$\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\geq ab+bc+ca$

 

 

Bài 11. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: $xyz=1$. Chứng minh rằng:

 

$\frac{1}{(x+1)^{2}}+\frac{1}{(y+1)^{2}}+\frac{1}{(z+1)^{2}}+\frac{2}{(x+1)(y+1)(z+1)}\geq 1$

 

Bài 12. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=2$

 

Chứng minh rằng: $\frac{1}{8a^{2}+1}+\frac{1}{8b^{2}+1}+\frac{1}{8c^{2}+1}\geq 1$

 

 



#17 Uchiha sisui

Uchiha sisui

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 196 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 16-06-2017 - 15:16

Bài 13.  Bài này khá hay mình vừa giải lúc bạn Baoriven đăng lên xong cũng sử dụng phương pháp PQR

 

Cho $x, y, z>0$ và $x+y+z=xyz+2$. Chứng minh rằng: $(1-xy)(1-yz)(1-zx)\geq 0$

 

 

:closedeyes:  :closedeyes:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Uchiha sisui: 16-06-2017 - 15:17


#18 Hoang Dinh Nhat

Hoang Dinh Nhat

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 402 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị
  • Sở thích:Gái và toán

Đã gửi 16-06-2017 - 15:42

Bài 9. Cho $a,$ $b,$ $c$ $> 0$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:

 

$\frac{a^{2}b}{4-bc}+\frac{b^{2}c}{4-ca}+\frac{c^{2}a}{4-ab}\leq 1$

 

(Phạm Kim Hùng)

Bất đẳng thức cần chứng minh $\Leftrightarrow 4-\sum a^2b\geq \sum \frac{a^2b^2c}{4-bc}$

Ta có BĐT quen thuộc: $4-\sum a^2b\geq abc$, ta cần chứng minh:

$abc\geq \sum \frac{a^2b^2c}{4-bc}\Leftrightarrow 1\geq \sum \frac{ab}{4-bc}\Leftrightarrow 64-32\sum ab+8\sum a^2bc+4\sum a^2b^2\geq abc(\sum a^2b+abc)$

Tiếp tục sử dung BĐT trên ta cần chứng minh: $64-32\sum ab+8\sum a^2bc+4\sum a^2b^2\geq 4abc$

Đặt $q=ab+bc+ca;r=abc$

Theo $AM-GM$ ta có: $q^2\geq 9r$ nên cần chứng minh:$16-8q+q^2-\frac{q^2}{9}\geq 0\Leftrightarrow (q-3)(q-6)\geq 0$

BĐT cuối nên có đpcm. Đạt tại: $a=b=c=1$ hoặc $a=2;b=1;c=0$ và các hoán vị


Chấp nhận giới hạn của bản thân, nhưng đừng bao giờ bỏ cuộc

 

 

 

 


#19 Hoang Dinh Nhat

Hoang Dinh Nhat

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 402 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị
  • Sở thích:Gái và toán

Đã gửi 16-06-2017 - 15:53

Bài 8: Chuẩn hóa $p=1$ bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

$(1-3q)q+(5q-1)r\leq \frac{1}{12}$

Nếu $q\leq \frac{1}{5}$ thì:$(1-3q)q+(5q-1)r\leq (1-3q)q=\frac{1}{3}(1-3q)3q\leq \frac{1}{3}(\frac{1-3q+3q}{2})^2=\frac{1}{12}$

Nếu $q>\frac{1}{5}$ thì: $(1-3q)q+(5q-1)r\leq (1-3q)q+(5q-1)\frac{q}{9}=\frac{1}{36}(-88q^2+32q-3)+\frac{1}{12}<\frac{1}{12}$

Vậy BĐT được cm thành công. Đạt tại: $a=0;b=\frac{3+\sqrt{3}}{6};c=\frac{3-\sqrt{3}}{6}$


Chấp nhận giới hạn của bản thân, nhưng đừng bao giờ bỏ cuộc

 

 

 

 


#20 Uchiha sisui

Uchiha sisui

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 196 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 16-06-2017 - 16:28

  :closedeyes: Bài 10.  :closedeyes:

 

Áp dụng BĐT AM-GM ta có: $\sqrt[3]{a}=\frac{a}{\sqrt[3]{a^{2}}}\geq \frac{3a}{2a+1}$

 

Do đó ta chỉ cần chứng minh $3\sum \frac{a}{2a+1}\geq ab+bc+ca$ (*)

 

Đặt $p=a+b+c,q=ab+bc+ca,r=abc$. 

 

Bất đẳng thức (*) tương đương với: $4q^{2}-5q-9+r(8q-36)\leq 0$

 

TH1: $q\leq \frac{9}{4}$

 

Ta có $4q^{2}-5q-9+r(8q-36)<4q^{2}-5q-9\leq 9q-5q-9=4q-9\leq 0$

 

TH2: $\frac{9}{4}< q\leq 3$. Áp dụng BĐT Schur ta có:

 

$4q^{2}-5q-9+r(8q-36)\leq \frac{11}{3}(4q-9)(q-3)\leq 0$

 

$\Rightarrow Q.E.D$. Dấu bẳng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh