Ai cũng biết rằng ở thời điểm hiện tại nếu ai nghiên cứu về bất đẳng thức cũng biết đến cái tên pqr, bất đẳng thức SCHUR. Đây là một phương pháp mạnh cùng với bất đẳng thức schur có thể giải các bài toán liên quan đến đối xứng và hoán vị. Có nhiều topic trước đây đều đăng các bài toán về Bất Đẳng Thức rất hay nhưng chưa có topic nào nói về việc luyện tập cho chủ đề sử dụng phương pháp này. Với mong muốn chuẩn bị cho kì thi học sinh giỏi sắp tới, tôi xin lập ra topic này để mọi người chúng ta ai cũng nâng cao kĩ năng này và hiểu thêm về sức mạnh của nó !
**** Trên mạng hiện tại đã xuất hiện nhiều tài liệu liên quan đến phần này vì thế tôi xin phép không up tài liệu này nữa mà xin áp dụng vào các bài tập luôn. Mong mọi người ủng hộ và up bài nhiều hơn để giữ lửa cho topic! Phạm vi của chủ đề là các bài toán bất đẳng thức ba biến sử dụng được phương pháp pqr - Bất đẳng thức Schur . Những bài toán không sử dụng phương pháp này tác giả sẽ xóa bài, mong mọi người thông cảm. Các bạn nên ghi nguồn cho từng bài toán, tên tác giả của bài toán đó, nếu không nhớ rõ để tên '' sưu tầm''.
Sau đây xin đề xuất một số bài toán hay sau:
Bài 1. Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện $a+b+c=1$. Chứng minh rằng:
$\sqrt{\frac{a}{2a^{2}+bc}} + \sqrt{\frac{b}{2b^{2}+ca}} + \sqrt{\frac{c}{2c^{2}+ab}} \geq 2$
(Võ Quốc Bá Cẩn)
Bài 2. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng:
$\frac{4}{81(ab+bc+ca)} + abc \geq \frac{5}{27}$
(Võ Thành Văn)
Bài 3. Cho các số không âm a, b, c thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:
$\frac{1}{6-ab} + \frac{1}{6-bc} + \frac{1}{6-ca} \leq \frac{3}{5}$
(Vasile Cirtoaje)
Bài 4. Chứng minh rằng với mọi $a, b, c\geq 0$ ta có:
$2(a^{2} + b^{2} + c^{2}) + abc + 8\geq 5(a+b+c)$
(Trần Nam Dũng)