Chủ đề này có 3 trả lời

[Baoriven]

Cho $x,y,z> 0$ và $x+y+z=xyz+2$. Chứng minh rằng:

$(1-xy)(1-yz)(1-zx)\geq 0$

Vasile Cirtoaje

[Uchiha sisui]

Không ai xử thì em xử vậy

 

Lời giải

 

Đặt $p=a+b+c,q=ab+bc+ca,r=abc$. $\Rightarrow p-r=2$

 

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: $1-q+pr-r^{2}\geq 0\Leftrightarrow 1-q+2r\geq 0$

 

Áp dụng BĐT Schur ta có: $r\geq \frac{p(4q-p^{2})}{9}$

 

Ta phải chứng minh: $1-q+\frac{2p(4q-p^{2})}{9}\geq 0\Leftrightarrow -2p^{3}+8pq-9q+9\geq 0$

 

Dễ chứng minh được $q\leq \frac{p^{2}}{3}$

 

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: $-6p^{3}-p^{2}(9-8p)+27\geq 0\Leftrightarrow 2p^{3}-9p^{2}+27\geq 0\Leftrightarrow (p-3)^{2}(2p+3)\geq 0$

 

Bất Đẳng Thức cuối luôn đúng ta có điều phải chứng minh.

 

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$ 

[Baoriven]

Em chắc theo đạo $Schur$ rồi .

Ta có: $(1-xy)(1-yz)=1-y(x+z)+xy^2z=1-y(x+z)+y(x+y+z-2)=(y-1)^2\geq 0$. 

Tương tự ta có đpcm. 

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1$.

[Uchiha sisui]

Em chắc theo đạo $Schur$ rồi .

Ta có: $(1-xy)(1-yz)=1-y(x+z)+xy^2z=1-y(x+z)+y(x+y+z-2)=(y-1)^2\geq 0$. 

Tương tự ta có đpcm. 

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1$.

What, không ngờ nó dễ vậy kaka