Chủ đề này có 1 trả lời

[trungdung19122002]

Cho $a;b;c$ là các số thực không âm. Chứng minh rằng $(a+b+c)^3\geq 6\sqrt{3}(a-b)(b-c)(c-a)$

[IHateMath]

Không mất tính tổng quát, giả sử $a\geq b,\, a\geq c$. Ta xét hai trường hợp sau:

$\bullet$ Trường hợp $1$: $b\geq c$. Khi đó $(a-b)(b-c)(c-a)\leq0$, trong khi $a+b+c\geq 0$. Bất đẳng thức đa cho đúng. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=0$.

$\bullet$ Trường hợp $2$: $b<c$. Khi đó, do $b\geq 0$ nên ta có $$(a+b+c)^3\geq (a+c)^3,\, (a-b)(b-c)(c-a)=(a-b)(c-b)(a-c)\leq ac(a-c).$$

Như vậy ta chỉ còn cần phải chứng minh

$$(a+c)^3\geq 6\sqrt{3} ac(a-c).$$

Đặt $t=\frac{a}{c}$ thì $t\geq 1$ và bất đẳng thức trên trở thành

$$(t+1)^3\geq 6\sqrt{3} t(t-1)\iff (t-2-\sqrt{3})^2(t+7-4\sqrt{3})\geq 0,$$

hiển nhiên đúng. Dấu "=" xảy ra khi $b=0,\, a=(2+\sqrt{3})c\, (c>0)$.

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi IHateMath: 16-06-2017 - 22:57