Chủ đề này có 1 trả lời

[bigway1906]

cho 4 số thực dương a, b, c, d thỏa mãn $abcd=1$. Chứng minh rằng: $\sum \frac{1}{(a+1)bc}\geq 2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienduc: 17-06-2017 - 10:25

[duylax2412]

Trước hết là ta cần chứng minh $BĐT Nesbit$ $4$ số sau:

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b} \geq 2.$.

Thật vậy,theo $Cauchy-Shwarz$ dạng $Engel$ thì ta có:

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b} =\frac{a^2}{a(b+c)}+\frac{b^2}{b(c+d)}+\frac{c^2}{c(d+a)}+\frac{d^2}{d(a+b)}$

$\geq \frac{(a+b+c+d)^2}{2bd+2ca+(a+c)(b+d)}$

Chỉ cần chứng minh thêm:$(a+b+c+d)^2 \geq 4bd+4ca+2(a+c)(b+d) \Leftrightarrow (a-c)^2+(b-d)^2 \geq 0$ (đúng)

Quay lại bài toán :

Đổi biến $(a,b,c,d) \rightarrow (\frac{x}{y};\frac{y}{z};\frac{z}{t};\frac{t}{x})$.

Thì có được:

$\sum \frac{1}{(a+1)bc}=\frac{t}{x+y}+\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+t}+\frac{z}{t+x} \geq 2$ (theo $BĐT$ trên).

$\rightarrow Q.E.D$