Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$f(xy)=max\left \{ f(x+y), f(x).f(y) \right \}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 Zz Isaac Newton Zz

Zz Isaac Newton Zz

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 395 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán Tin trường ĐH KHTN TP Hồ Chí Minh
  • Sở thích:Algebraic Topology and Algebraic Geometry

Đã gửi 16-06-2017 - 17:31

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn: $f(xy)=max\left \{ f(x+y), f(x).f(y) \right \}, \forall x, y\in \mathbb{R}.$



#2 nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 463 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Nguyễn Du-Daklak
  • Sở thích:đã từng có

Đã gửi 04-08-2017 - 20:17

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn: $f(xy)=max\left \{ f(x+y), f(x).f(y) \right \}, \forall x, y\in \mathbb{R}.$

$\mathcal{P}(x,1)\rightarrow f(x)\ge f(x+1),\ \forall x\ \ \ (1)$

$\mathcal{P}(x,0)\rightarrow f(0)=\max\left \{ f(x),f(x).f(0) \right \}\ \ \ (2)$

$\bullet\ \boxed{\text{TH1:}\ f(0)=0}$

$\mathcal{P}(x,-x)\rightarrow f(-x^2)=\max\left \{ 0,f(x).f(-x)\right \}\ \ (3)$

từ đây ta có

$f(x)\ge 0,\ \forall x\le 0\ \ \ (4)$

tới đây ta xét $3$ tập $\mathcal{A},\mathcal{B},\mathcal{C}$ là

$\left\{\begin{matrix}f(x)>0,\forall x \in \mathcal{A} \\f(x)<0,\forall x \in \mathcal{B} \\ f(x)=0,\forall x \in \mathcal{C} \end{matrix}\right.$

tới đây ta xem $a,b,c$ lần lượt là các phần tử thuộc các tập $\mathcal{A},\mathcal{B},\mathcal{C}$

ta giả sử $\left | \mathcal{C} \right |=1$ tức là tập $\mathcal{C}$ chỉ có duy nhất phần tử là $0$

$(4)\Rightarrow f(x)>0,\ \ \forall x<0$

mà từ $(2)$ ta có

$0=f(0)\ge f(x),\ \ \forall x$

từ 2 điều trên ta có mâu thuẫn do đó $\left | \mathcal{C} \right |>1$

$\mathcal{P}(x,c)\rightarrow f(xc)=\max \left \{ f(x+c),0\right \}$

do đó $f(xc)\ge 0,\ \forall x$ và ta có thể chọn $x$ cùng với $c\neq 0$ nên 

$f(x)\ge 0,\ \ \forall x\Rightarrow \mathcal{B}=\varnothing$

từ $(1)$ ta có $0=f(0)\ge f(1)\ge 0\rightarrow f(1)=0$

với $x\neq 0$ ta chọn

$\mathcal{P}\left ( x,\frac{1}{x} \right )\rightarrow 0=f\left ( x.\frac{1}{x} \right )=\max\left \{ f\left ( x+\frac{1}{x} \right ),f(x).f\left ( \frac{1}{x} \right ) \right \}$

từ đây ta có được $f\left ( x+\frac{1}{x}\right )=0$ tức là

$x+\frac{1}{x}\in \mathcal{C},\ \forall x\neq 0$

tới đây vì $x+\frac{1}{x}\ge 2$ nên $\forall y:\left | y \right |\ge 2\rightarrow \exists x_0:y=x_0+\frac{1}{x_0}$ do đó

$\forall x:\left | x \right |\ge 2\rightarrow x\in \mathcal{C}$

từ đây với giả thiết đầu bài ta cố định $x$ và chọn $y$ đủ lớn sao cho $\left\{\begin{matrix} \left | x+y \right |\ge 2\\\left | xy \right |\ge 2 \end{matrix}\right.$ nên 

$f(xy)=\max\left \{ f(x+y),f(x).f(y)\right \}=\max\left \{ 0,0 \right \}=0$

từ đây với mỗi $x$  cố định ta đều có thể chọn $y$ mà $f(xy)=0$ nên ta có thể suy ra 

$f(x)=0,\ \ \forall x$

$\bullet\ \boxed{\text{TH2:}\ f(0)\neq 0}$

với trường hợp này từ $(2)$ ta suy ra tập giá trị của hàm $f$ là $1$ hoặc $f(0)$

nếu $f(0)=1$ thì không còn gì để nói nên ta xét với $f(0)\neq 1$

mà $\mathcal{P}(0,0)\rightarrow f(0)\ge f(0)^2\Rightarrow f(0)\le 1$ nên $f(0)<1$

tới đây ý tưởng cũng như trên ta xét hai tập $\mathcal{D},\mathcal{E}$ là

$\left\{\begin{matrix} f(x)=1,\forall x\in \mathcal{D}\\ f(x)=f(0),\forall x\in \mathcal{E} \end{matrix}\right.$

từ $(1)$ ta có $f(0)\ge f(1)$ mà ta thấy không còn giá trị nào của hàm $f$ bé hơn $f(0)$ nên $f(1)=f(0)$

tới đây thì tương tự như trên là

$\mathcal{P}\left ( x,\frac{1}{x} \right )\rightarrow f(0)=f\left ( x.\frac{1}{x} \right )=\max\left \{ f\left ( x+\frac{1}{x} \right ),f(x).f\left ( \frac{1}{x} \right ) \right \}$

từ đây ta có được

$x+\frac{1}{x}\in \mathcal{E},\ \forall x\neq 0$

tới đây phần còn lại giải quyết hoàn toàn tương tự như trên

và đáp số bài toán là $f(x)\equiv C,\ \ \forall C\in \left [ 0,1 \right ]$

Spoiler


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 05-08-2017 - 18:50

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra  ~O) 

Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em  :wub: 

Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh  :ukliam2: 


#3 Zz Isaac Newton Zz

Zz Isaac Newton Zz

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 395 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán Tin trường ĐH KHTN TP Hồ Chí Minh
  • Sở thích:Algebraic Topology and Algebraic Geometry

Đã gửi 05-08-2017 - 16:13

 

$\mathcal{P}(x,1)\rightarrow f(x)\ge f(x+1),\ \forall x\ \ \ (1)$

$\mathcal{P}(x,0)\rightarrow f(0)=\max\left \{ f(x),f(x).f(0) \right \}\ \ \ (2)$

$\bullet\ \boxed{\text{TH1:}\ f(0)=0}$

$\mathcal{P}(x,-x)\rightarrow f(-x^2)=\max\left \{ 0,f(x).f(-x)\right \}\ \ (3)$

từ đây ta có

$f(x)\ge 0,\ \forall x\le 0\ \ \ (4)$

tới đây ta xét $3$ tập $\mathcal{A},\mathcal{B},\mathcal{C}$ là

$\left\{\begin{matrix}f(x)>0,\forall x \in \mathcal{A} \\f(x)<0,\forall x \in \mathcal{B} \\ f(x)=0,\forall x \in \mathcal{C} \end{matrix}\right.$

tới đây ta xem $a,b,c$ lần lượt là các phần tử thuộc các tập $\mathcal{A},\mathcal{B},\mathcal{C}$

ta giả sử $\left | \mathcal{C} \right |=1$ tức là tập $\mathcal{C}$ chỉ có duy nhất phần tử là $0$

$(4)\Rightarrow f(x)>0,\ \ \forall x<0$

mà từ $(2)$ ta có

$0=f(0)\ge f(x),\ \ \forall x$

từ 2 điều trên ta có mâu thuẫn do đó $\left | \mathcal{C} \right |>1$

$\mathcal{P}(x,c)\rightarrow f(xc)=\max \left \{ f(x+c),0\right \}$

do đó $f(xc)\ge 0,\ \forall x$ và ta có thể chọn $x$ cùng với $c\neq 0$ nên 

$f(x)\ge 0,\ \ \forall x\Rightarrow \mathcal{B}=\varnothing$

từ $(1)$ ta có $0=f(0)\ge f(1)\ge 0\rightarrow f(1)=0$

với $x\neq 0$ ta chọn

$\mathcal{P}\left ( x,\frac{1}{x} \right )\rightarrow 0=f\left ( x.\frac{1}{x} \right )=\max\left \{ f\left ( x+\frac{1}{x} \right ),f(x).f\left ( \frac{1}{x} \right ) \right \}$

từ đây ta có được $f\left ( x+\frac{1}{x}\right )=0$ tức là

$x+\frac{1}{x}\in \mathcal{C},\ \forall x\neq 0$

tới đây vì $x+\frac{1}{x}\ge 2$ nên $\forall y:\left | y \right |\ge 2\rightarrow \exists x_0:y=x_0+\frac{1}{x_0}$ do đó

$\forall x:\left | x \right |\ge 2\rightarrow x\in \mathcal{C}$

từ đây với giả thiết đầu bài ta cố định $x$ và chọn $y$ đủ lớn sao cho $\left\{\begin{matrix} \left | x+y \right |\ge 2\\\left | xy \right |\ge 2 \end{matrix}\right.$ nên 

$f(xy)=\max\left \{ f(x+y),f(x).f(y)\right \}=\max\left \{ 0,0 \right \}=0$

từ đây với mỗi $x$  cố định ta đều có thể chọn $y$ mà $f(xy)=0$ nên ta có thể suy ra 

$f(x)=0,\ \ \forall x$

$\bullet\ \boxed{\text{TH2:}\ f(0)\neq 0}$

với trường hợp này từ $(2)$ ta suy ra tập giá trị của hàm $f$ là $1$ hoặc $f(0)$

nếu $f(0)=1$ thì không còn gì để nói nên ta xét với $f(0)\neq 1$

mà $\mathcal{P}(0,0)\rightarrow f(0)\ge f(0)^2\Rightarrow f(0)\le 1$ nên $f(0)<1$

tới đây ý tưởng cũng như trên ta xét hai tập $\mathcal{D},\mathcal{E}$ là

$\left\{\begin{matrix} f(x)=1,\forall x\in \mathcal{D}\\ f(x)=f(0),\forall x\in \mathcal{E} \end{matrix}\right.$

từ $(1)$ ta có $f(0)\ge f(1)$ mà ta thấy không còn giá trị nào của hàm $f$ bé hơn $f(0)$ nên $f(1)=f(0)$

tới đây thì tương tự như trên là

$\mathcal{P}\left ( x,\frac{1}{x} \right )\rightarrow f(0)=f\left ( x.\frac{1}{x} \right )=\max\left \{ f\left ( x+\frac{1}{x} \right ),f(x).f\left ( \frac{1}{x} \right ) \right \}$

từ đây ta có được

$x+\frac{1}{x}\in \mathcal{E},\ \forall x\neq 0$

tới đây phần còn lại giải quyết hoàn toàn tương tự như trên

và đáp số bài toán là $f(x)\equiv C,\ \ \forall C<1$

Spoiler

 

Cách làm của anh ảo diệu thật, em làm như thế này, không biết có ổn không, mong anh chỉ giáo,...

Trong (1) lấy $x=0$ ta được: $f(0)=max\left \{ f(y), f(0).f(y) \right \}, \forall y\in \mathbb{R}$ (2)

Từ (2) lấy $y=0$ ta được: $f(0)=max\left \{ f(0), f^{2}(0) \right \}$  $\Rightarrow f(0)\geq f^{2}(0)\Leftrightarrow 0\leq f(0)\leq 1.$

Giả sử $\exists y\in \mathbb{R}$ sao cho $f(y)< 0,$ khi đó ta có: $f(y)\leq f(0).f(y),$ từ đây kết hợp với (2) suy ra: $f(0)=f(0).f(y)\Leftrightarrow f(0).(f(y)-1)=0\Leftrightarrow f(0)=0.$

Vậy (2) trở thành $0=max\left \{ f(y), 0 \right \}, \forall y\in \mathbb{R}\Rightarrow f(y)\leq 0, \forall y\in \mathbb{R}.$

*Nếu $\exists y\in \mathbb{R}:f(y)< 0$ thì $f(x)\leq 0, \forall x\in \mathbb{R}.$ Do đó theo (1) suy ra: $f(x)=max\left \{ f(x+1), f(x).f(1) \right \}= f(x).f(1)\geq 0, \forall x\in \mathbb{R}.$

Do đó: $f(x)=0=f(0), \forall x\in \mathbb{R}.$

*Nếu $f(y)\geq 0, \forall y\in \mathbb{R}$ thì $f(y)\geq f(0).f(y), \forall y\in \mathbb{R}.$ Do đó (2) trở thành $f(y)=f(0), \forall y\in \mathbb{R}.$

Vậy từ đây cho ta: $f(x)=C, \forall x\in \mathbb{R}$ và $C$ là hằng số. Thay vào (1) ta được: $C=max\left \{ C, C^{2} \right \}\Rightarrow C\geq C^{2}\Leftrightarrow C\in \left [ 0, 1 \right ].$

Hàm số thỏa mãn yêu cầu đề bài là: $f(x)=C, \forall x\in \mathbb{R}$ và $C\in \left [ 0, 1 \right ]$ là hằng số.



#4 Kamii0909

Kamii0909

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 158 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Huệ
  • Sở thích:Mathematic, Light Novel

Đã gửi 08-08-2017 - 15:25

Bổ đề: Xét $a \geq 0$ và $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn $g(x)=x - \dfrac{a}{x}$ thì $g$ toàn ánh.(Không chứng minh) 

 

$P(x,y) : f(xy) = max \left \{ f(x+y),f(x)f(y) \right \}$

$P \left(x, \dfrac{-a}{x} \right) : f(-a)= max \left \{ f \left( x- \dfrac{a}{x} \right), f(x)f \left( \dfrac{-a}{x} \right) \right \}$

Tức là $f(-a) \geq f \left( x- \dfrac{a}{x} \right) (1)$
Từ đây do tính toàn ánh của $ x- \dfrac{a}{x}$ nên $f(-a) \geq f(x), \forall a \geq 0, x \in \mathbb{R}$

Hay $f(-y) \geq f(x), \forall y \geq 0, \forall x \in \mathbb{R} $

Từ đây $f(-y) \geq f(-x), \forall x,y \geq 0$ suy ra $f(x)=f(0)=C, \forall x \leq 0$ 

Ngoài ra, $f(x) \leq C, \forall x \in \mathbb{R}$

Xét $x \geq 0$

$P(-x,-1) : f(x)= max  \left \{ f(-x-1), f(-x)f(-1) \right \} = max \left \{ C, C^2  \right \}$

$\Rightarrow C \geq C^2 \Leftrightarrow 0 \ leq C \leq 1$

Mặt khác, với mọi $C \in [0,1]$ thì $C \geq C^2$ nên $f(x)=C, \forall x$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kamii0909: 08-08-2017 - 16:11





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh