Chủ đề này có 4 trả lời

[caybutbixanh]

Bài toán: Cho tứ diện $ABCD$ có $AB=4a;CD=6a$, các cạnh còn lại đều bằng $a\sqrt{22}.$ Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

[nguyenthanhhung1985]

Gọi M, N lần lượt trung điểm AB và CD (MN là đoạn vuông góc chung của AB, CD).

Ta thấy: tâm $I$ đường tròn ngoại tiếp tứ diện nằm trên MN sao cho $\dfrac{MI}{NI}=\frac{7}{2}$

Suy ra: $IA=IB=IC=ID$ (Giờ ta tính bán kính)

Xét tam giác AMC: $MC=\sqrt{22a^2-4a^2}=3\sqrt{2}a$

Xét tam giác AMD: $MD=\sqrt{22a^2-4a^2}=3\sqrt{2}a$

Xét tam giác MCN: $MN=\sqrt{18a^2-9a^2}=3a$

Do: $\dfrac{MI}{NI}=\frac{7}{2}$ nên $MI=\dfrac{7a}{3}$ và $NI=\dfrac{2a}{3}$

Xét tam giác AMI: $IA=\sqrt{\dfrac{49a^2}{9}+4a^2}=\dfrac{\sqrt{85}a}{3}$

Vậy bán kính mặt cầ ngoại tiếp tứ diện: $R=\dfrac{\sqrt{85}a}{3}$

Các bạn kiểm tra iaij giúp mình kết quả...

[chanhquocnghiem]

Bài toán: Cho tứ diện $ABCD$ có $AB=4a;CD=6a$, các cạnh còn lại đều bằng $a\sqrt{22}.$ Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$.

Vì các cạnh còn lại đều bằng nhau nên suy ra $AB$ nằm trong mặt phẳng trung trực của $CD$ và $CD$ nằm trong mặt phẳng trung trực của $AB$ $\Rightarrow MN$ là đoạn vuông góc chung của $AB$ và $CD$ và :

$MN=\sqrt{AC^2-AM^2-NC^2}=3a$

Chọn hệ tọa độ $Oxyz$ sao cho $O$ trùng với $M$ ; mặt phẳng $Oxy$ là mặt phẳng chứa $AB$ và song song với $CD$ ; tia $Oz$ hướng từ $M$ đến $N$.Gọi tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là $I$.

$IA^2=IB^2=z_I^2+MA^2=z_I^2+4a^2$

$IC^2=ID^2=IN^2+NC^2=(z_I-3a)^2+9a^2$

$\Rightarrow z_I^2+4a^2=(z_I-3a)^2+9a^2\Rightarrow z_I=\frac{7}{3}\ a$

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp là $R=\sqrt{z_I^2+4a^2}=\frac{\sqrt{85}}{3}\ a$.

[caybutbixanh]

Gọi M, N lần lượt trung điểm AB và CD (MN là đoạn vuông góc chung của AB, CD).

Ta thấy: tâm $I$ đường tròn ngoại tiếp tứ diện nằm trên MN sao cho $\dfrac{MI}{NI}=\frac{7}{2}$

Suy ra: $IA=IB=IC=ID$ (Giờ ta tính bán kính)

Xét tam giác AMC: $MC=\sqrt{22a^2-4a^2}=3\sqrt{2}a$

Xét tam giác AMD: $MD=\sqrt{22a^2-4a^2}=3\sqrt{2}a$

Xét tam giác MCN: $MN=\sqrt{18a^2-9a^2}=3a$

Do: $\dfrac{MI}{NI}=\frac{7}{2}$ nên $MI=\dfrac{7a}{3}$ và $NI=\dfrac{2a}{3}$

Xét tam giác AMI: $IA=\sqrt{\dfrac{49a^2}{9}+4a^2}=\dfrac{\sqrt{85}a}{3}$

Vậy bán kính mặt cầ ngoại tiếp tứ diện: $R=\dfrac{\sqrt{85}a}{3}$

Các bạn kiểm tra iaij giúp mình kết quả...

Thưa anh, em chưa hiểu lắm : Tại sao tâm $I$ đường tròn ngoại tiếp tứ diện nằm trên $MN$ sao cho $\dfrac{MI}{NI}=\dfrac{7}{3}$ vậy ạ ?? Đó là định lý hay sao ạ ?

[nguyenthanhhung1985]

Chung ta biết $MN$ đã lấy như trên nên tâm mặt cầu sẽ nằm trên $MN$. Tới đây ta có một cách làm như sau.

Gọi $I$ là tâm của mặt cầu trên.

Khi đó ta có:

$$IA^2=ID^2$$

$$\iff IM^2+MA^2=IN^2+ND^2$$

$$\iff IM^2+IA^2=(3a-IM)^2+ND^2$$

$$\iff IM^2+4a^2=9a^2-6aIM+IM^2+9a^2$$

$$\iff 6aIM=14a^2 \iff IM=\dfrac{7a}{3}$$

Và $IN=\dfrac{2a}{3}$

Từ đó ta có tỉ số trên nhen bạn...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenthanhhung1985: 20-06-2017 - 12:14