Bài toán: Cho tứ diện $ABCD$ có $AB=4a;CD=6a$, các cạnh còn lại đều bằng $a\sqrt{22}.$ Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
#2
Đã gửi 17-06-2017 - 23:24
Gọi M, N lần lượt trung điểm AB và CD (MN là đoạn vuông góc chung của AB, CD).
Ta thấy: tâm $I$ đường tròn ngoại tiếp tứ diện nằm trên MN sao cho $\dfrac{MI}{NI}=\frac{7}{2}$
Suy ra: $IA=IB=IC=ID$ (Giờ ta tính bán kính)
Xét tam giác AMC: $MC=\sqrt{22a^2-4a^2}=3\sqrt{2}a$
Xét tam giác AMD: $MD=\sqrt{22a^2-4a^2}=3\sqrt{2}a$
Xét tam giác MCN: $MN=\sqrt{18a^2-9a^2}=3a$
Do: $\dfrac{MI}{NI}=\frac{7}{2}$ nên $MI=\dfrac{7a}{3}$ và $NI=\dfrac{2a}{3}$
Xét tam giác AMI: $IA=\sqrt{\dfrac{49a^2}{9}+4a^2}=\dfrac{\sqrt{85}a}{3}$
Vậy bán kính mặt cầ ngoại tiếp tứ diện: $R=\dfrac{\sqrt{85}a}{3}$
Các bạn kiểm tra iaij giúp mình kết quả...
- caybutbixanh yêu thích
Nguyễn Thành Hưng
#3
Đã gửi 17-06-2017 - 23:29
Bài toán: Cho tứ diện $ABCD$ có $AB=4a;CD=6a$, các cạnh còn lại đều bằng $a\sqrt{22}.$ Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$.
Vì các cạnh còn lại đều bằng nhau nên suy ra $AB$ nằm trong mặt phẳng trung trực của $CD$ và $CD$ nằm trong mặt phẳng trung trực của $AB$ $\Rightarrow MN$ là đoạn vuông góc chung của $AB$ và $CD$ và :
$MN=\sqrt{AC^2-AM^2-NC^2}=3a$
Chọn hệ tọa độ $Oxyz$ sao cho $O$ trùng với $M$ ; mặt phẳng $Oxy$ là mặt phẳng chứa $AB$ và song song với $CD$ ; tia $Oz$ hướng từ $M$ đến $N$.Gọi tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là $I$.
$IA^2=IB^2=z_I^2+MA^2=z_I^2+4a^2$
$IC^2=ID^2=IN^2+NC^2=(z_I-3a)^2+9a^2$
$\Rightarrow z_I^2+4a^2=(z_I-3a)^2+9a^2\Rightarrow z_I=\frac{7}{3}\ a$
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp là $R=\sqrt{z_I^2+4a^2}=\frac{\sqrt{85}}{3}\ a$.
- caybutbixanh và nguyenhongsonk612 thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
#4
Đã gửi 19-06-2017 - 17:28
Gọi M, N lần lượt trung điểm AB và CD (MN là đoạn vuông góc chung của AB, CD).
Ta thấy: tâm $I$ đường tròn ngoại tiếp tứ diện nằm trên MN sao cho $\dfrac{MI}{NI}=\frac{7}{2}$
Suy ra: $IA=IB=IC=ID$ (Giờ ta tính bán kính)
Xét tam giác AMC: $MC=\sqrt{22a^2-4a^2}=3\sqrt{2}a$
Xét tam giác AMD: $MD=\sqrt{22a^2-4a^2}=3\sqrt{2}a$
Xét tam giác MCN: $MN=\sqrt{18a^2-9a^2}=3a$
Do: $\dfrac{MI}{NI}=\frac{7}{2}$ nên $MI=\dfrac{7a}{3}$ và $NI=\dfrac{2a}{3}$
Xét tam giác AMI: $IA=\sqrt{\dfrac{49a^2}{9}+4a^2}=\dfrac{\sqrt{85}a}{3}$
Vậy bán kính mặt cầ ngoại tiếp tứ diện: $R=\dfrac{\sqrt{85}a}{3}$
Các bạn kiểm tra iaij giúp mình kết quả...
Thưa anh, em chưa hiểu lắm : Tại sao tâm $I$ đường tròn ngoại tiếp tứ diện nằm trên $MN$ sao cho $\dfrac{MI}{NI}=\dfrac{7}{3}$ vậy ạ ?? Đó là định lý hay sao ạ ?
KẺ MẠNH CHƯA CHẮC ĐÃ THẮNG
MÀ KẺ THẮNG MỚI CHÍNH LÀ KẺ MẠNH!.
(FRANZ BECKEN BAUER)
ÔN THI MÔN HÓA HỌC TẠI ĐÂY.
#5
Đã gửi 20-06-2017 - 12:13
Chung ta biết $MN$ đã lấy như trên nên tâm mặt cầu sẽ nằm trên $MN$. Tới đây ta có một cách làm như sau.
Gọi $I$ là tâm của mặt cầu trên.
Khi đó ta có:
$$IA^2=ID^2$$
$$\iff IM^2+MA^2=IN^2+ND^2$$
$$\iff IM^2+IA^2=(3a-IM)^2+ND^2$$
$$\iff IM^2+4a^2=9a^2-6aIM+IM^2+9a^2$$
$$\iff 6aIM=14a^2 \iff IM=\dfrac{7a}{3}$$
Và $IN=\dfrac{2a}{3}$
Từ đó ta có tỉ số trên nhen bạn...
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenthanhhung1985: 20-06-2017 - 12:14
- caybutbixanh yêu thích
Nguyễn Thành Hưng
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: chú nghiêm idol
Toán Đại cương →
Giải tích →
$xy''=y'\ln \frac{y'}{x}$Bắt đầu bởi caybutbixanh, 08-12-2017 chú nghiêm idol |
|
|||
Toán Đại cương →
Giải tích →
Tích phân suy rộng $\int_{0 }^{+\infty}\frac{dx}{(1+x^{2})(1+x^{\alpha })}$Bắt đầu bởi gywreb, 28-11-2017 chú nghiêm idol |
|
|||
Toán Đại cương →
Giải tích →
Tính tích phân suy rộng $\int_{0 }^{+\infty}\frac{sin^{2}x}{x^{2}}$Bắt đầu bởi gywreb, 27-11-2017 chú nghiêm idol |
|
|||
Toán Đại cương →
Giải tích →
Tính $\int _{-\infty }^0 \frac{1}{x^2-9}dx$Bắt đầu bởi caybutbixanh, 22-11-2017 chú nghiêm idol |
|
|||
Toán Đại cương →
Đại số tuyến tính, Hình học giải tích →
$\begin{vmatrix} 1 &a &a^3 \\ 1 &b &b^3 \\ 1 &c &c^3 \end{vmatrix}=(b-a)(c-a)(c-b)(a+b+c)$Bắt đầu bởi caybutbixanh, 20-11-2017 chú nghiêm idol |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh