Chủ đề này có 2 trả lời

[nguyenduyxta2000]

Tính tích phân:
$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{sinx+2cosx+3}$

[anhquannbk]

Tính tích phân:
$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{sinx+2cosx+3}$

Đặt $ tan\dfrac{x}{2}=t $

Ta có $ sinx=\dfrac{2t}{1+t^2}, cosx=\dfrac{1-t^2}{1+t^2} $

$ dx=\dfrac{2dt}{1+t^2} $

Khi đó ta có

$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{sinx+2cosx+3}$ =$ \int_{0}^{1} \dfrac{dx}{\dfrac{2t}{1+t^2}+\dfrac{2-2t^2}{1+t^2}+3} = \int_{0}^{1} \dfrac{2dt}{5+2t+t^2} $

[chanhquocnghiem]

Tính tích phân:
$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{sinx+2cosx+3}$

Đặt $t=\tan\frac{x}{2}$ :

$I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{\sin x+2\cos x+3}=\int_{0}^{1}\frac{\frac{2}{1+t^2}\ dt}{\frac{2t}{1+t^2}+2\frac{1-t^2}{1+t^2}+3}=2\int_{0}^{1}\frac{dt}{t^2+2t+5}$

Lại đặt $u=t+1$ :

$I=2\int_{0}^{1}\frac{dt}{t^2+2t+5}=2\int_{1}^{2}\frac{du}{u^2+4}=\arctan\frac{u}{2}\Bigg|_1^2=\frac{\pi}{4}-\arctan \frac{1}{2}$