Chủ đề này có 2 trả lời

[taipro123789456]

tìm GTNN $\sqrt{x-2\sqrt{x-3}}$

[trambau]

tìm GTNN $\sqrt{x-2\sqrt{x-3}}$

$\sqrt{x-2\sqrt{x-3}}=\sqrt{x-3-2\sqrt{x-3}+1+2}=\sqrt{(\sqrt{x-3}-1)^2+2}\geq \sqrt{2}$

[huykinhcan99]

Đặt $A=\sqrt{x-2\sqrt{x-3}}$ ($A>0$). Khi đó, ta có các biến đổi đơn giản

\begin{align*}&\phantom{\iff~} A=\sqrt{x-2\sqrt{x-3}} \\ &\iff A^2 =x-2\sqrt{x-3} \\ &\iff x-A^2=2\sqrt{x-3} \\ &\implies x^2-2A^2x +A^4=4x-12 \\ &\iff x^2-2\left(A^2+2\right)x +A^4+12 = 0 \end{align*}

 

Coi đây là phương trình bậc $2$, biến $x$. Khi đó ta có biệt thức $\Delta'=\left(A^2+2\right)^2-\left(A^4+12\right)=4A^2-8$.

 

Để tồn tại $x$ thì hiển nhiên $\Delta'=4A^2-8\geqslant 0$, tức là $A^2\geqslant 2$.

Chú ý $A>0$ nên ta có ngay $A\geqslant \sqrt{2}$.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=4$.