Chủ đề này có 5 trả lời

[vantronnguyen]

Tính nguyên hàm:
$\int \frac{1+sinx}{1+cosx}.e^{x}dx$

[E. Galois]

Tính nguyên hàm:
$\int \frac{1+sinx}{1+cosx}.e^{x}dx$

 

\begin{align*} \dfrac{1+\sin x}{1+\cos x} & = \dfrac{\left( \sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2} \right)^2 }{2 \cos ^2 \frac{x}{2}} \\ &=\frac{1}{2}. \left(\tan \frac{x}{2} + 1 \right)^2 \\ & = \frac{1}{2} \left( 1 + \tan^2 \frac{x}{2} + 2\tan \frac{x}{2} \right) \end{align*}

Nhớ rằng: 

$$\left( \tan \frac{x}{2} \right)^{'} = \frac{1}{2} \left( 1+\tan ^2 \frac{x}{2} \right)$$

Vậy ta có thể dùng nguyên hàm từng phần 

Tuy nhiên, kết quả lại khiến ta phải tính tiếp: $\int e^x ln|\cos \frac{x}{2}| dx$.

 

Có vẻ nó không có nguyên hàm sơ cấp

[vantronnguyen]

Đáp số của bài tập họ đưa ra là
$\frac{e^{x}.sinx}{1+cosx}+C$ ạ.

[E. Galois]

Đáp số của bài tập họ đưa ra là
$\frac{e^{x}.sinx}{1+cosx}+C$ ạ.

 

Bạn đạo hàm đáp số sẽ thấy nó không ra kết quả như đề bài

[vantronnguyen]

$(\frac{e^{x}.sinx}{1+cosx})'$
$=\frac{(e^{x}.cosx+e^{x}.sinx)(1+cosx)+sinx.(e^{x}.sinx)}{(1+cosx)^{2}}$
$=\frac{e^{x}(sinx+sinxcosx+cosx+cos^{2}x+sin^{2}x)}{(1+cosx)^{2}}$
$=\frac{e^{x}(sinx+1)(cosx+1)}{(1+cosx)^{2}}$
$=\frac{1+sinx}{1+cosx}.e^{x}$
Tính đạo hàm ra đúng thầy ạ, nhưng em không biết nguyên hàm thì làm ntn ạ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vantronnguyen: 18-06-2017 - 13:39

[chanhquocnghiem]

Tính nguyên hàm:
$\int \frac{1+sinx}{1+cosx}.e^{x}dx$

Đặt $u=\frac{1+\sin x}{1+\cos x}\Rightarrow du=\frac{\cos x+\sin x+1}{(1+\cos x)^2}\ dx$

$I=\int \frac{1+\sin x}{1+\cos x}\ e^xdx=\frac{1+\sin x}{1+\cos x}\ e^x-\int \frac{e^x(\cos x+\sin x+1)}{(1+\cos x)^2}\ dx$

Xét nguyên hàm $J=\int \frac{e^x(\cos x+\sin x+1)}{(1+\cos x)^2}\ dx$

Đặt $w=\frac{e^x}{1+\cos x}\Rightarrow w'=\frac{e^x(1+\cos x+\sin x)}{(1+\cos x)^2}$

Vậy $J=\int \frac{e^x(\cos x+\sin x+1)}{(1+\cos x)^2}\ dx=\int dw=w+C=\frac{e^x}{1+\cos x}+C$

$\Rightarrow I=\frac{1+\sin x}{1+\cos x}\ e^x-\frac{e^x}{1+\cos x}+C=\frac{e^x\sin x}{1+\cos x}+C$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 19-06-2017 - 11:42