Chủ đề này có 4 trả lời

[RealCielo]

1, Cho a,b,c>0. abc=1. Tim min
P= $\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}+\frac{(a+b+c)^3}{54}$
2,Cho x,y,z >0. xyz=1.
Tìm min P = $x^4y+y^4z+z^4x - 3\sqrt{xy+yz+zx}$
3, Cho a,b,c>0. abc=1.
Tìm max P = $\frac{a+1}{b+1}+\frac{b+1}{c+1}+\frac{c+1}{a+1}-\frac{(a+b+c)^2}{6}$
Làm được theo phương pháp hàm số thì tốt .Mình cảm ơn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trambau: 19-06-2017 - 09:20
lỗi LATEX

[tuaneee111]

Bài 1 có vẻ dễ, lam trước! 

Theo $AM-GM$ ta có: $$\sum\limits_{cyc} {\frac{{a + 1}}{{{b^2} + 1}}}  = \sum\limits_{cyc} {\left( {a + 1 - \frac{{{b^2}\left( {a + 1} \right)}}{{{b^2} + 1}}} \right)}  \geqslant \sum\limits_{cyc} {\left( {a + 1 - \frac{{b\left( {a + 1} \right)}}{2}} \right)}  \geqslant \frac{1}{2}\sum\limits_{cyc} a  - \frac{1}{6}{\left( {\sum\limits_{cyc} a } \right)^2} + 3$$Đặt $a + b + c = t\left( {t \geqslant 3} \right)$, khi đó ta được: $$P \geqslant \frac{1}{2}t - \frac{1}{6}{t^2} + \frac{{{t^3}}}{{54}} + 3 = \frac{{{{\left( {t - 3} \right)}^3}}}{{54}} + \frac{7}{2} \geqslant \frac{7}{2} \Rightarrow \min P = \frac{7}{2}$$

[nguyenduyxta2000]

Bài 2:
Do $xyz=1$ nên
$x^4y+y^4z+z^4x=\frac{x^4}{xz}+\frac{y^4}{xy}+\frac{z^4}{yz}$
$\geqslant \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{xy+yz+xz}$ (theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz)
$\geqslant xy+yz+zx$
Đặt $t=\sqrt{xy+yz+zx}$ . Ta có $t\geqslant\sqrt{3}$
$P\geqslant t^2-3t=f(t)$.
Dễ dàng chứng minh $f(t)\geqslant f(\sqrt{3}) = 3-3\sqrt{3}$.
Vậy $minP=3-3\sqrt{3}$ khi $x=y=z=1$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenduyxta2000: 21-06-2017 - 00:06

[sharker]

Bài 3 mình nghĩ là tìm min vì tìm max mình dùng máy tính ko cho kết quả 

$P = \sum {\frac{{a + 1}}{{b + 1}} - } \frac{{{{(a + b + c)}^2}}}{6}$

$\sum {\frac{{a + 1}}{{b + 1}} = \sum {a + 1 - \frac{{b(a + 1)}}{{b + 1}}}  \ge } \sum {a + 1 - \frac{{{b^{\frac{1}{2}}}(a + 1)}}{2}}$

 $= a + b + c + 3 - \frac{{\sum {a{b^{\frac{1}{2}}} + \sum {{b^{\frac{1}{2}}}} } }}{2} \ge a + b + c + 3 - \frac{{\frac{{\sum {ab + a} }}{2} + \frac{{\sum {b + 1} }}{2}}}{2}$ \ge $a + b + c + 3 - \frac{{{{(a + b + c)}^2} + 3(a + b + c) + 3}}{{6.4}}$

$t=a+b+c\rightarrow t\in (0;1]$

 $\to P \ge t + 3 - \frac{{{t^2} + 3t + 3}}{{24}} - \frac{{{t^2}}}{6}$

$P'(t) = \frac{7}{8} - \frac{{5t}}{{12}} \to P\min  = P(1) = \frac{3}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sharker: 23-06-2017 - 14:03

[Duy Thai2002]

chắc đề sai