Đến nội dung

Hình ảnh

a là số hữu tỷ thì a là số tự nhiên

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 11 trả lời

#1
Tea Coffee

Tea Coffee

    Trung úy

  • Điều hành viên THPT
  • 772 Bài viết

Em có 3 bài toán thế này, nhờ mọi người kiểm tra cách làm của em giúp ạ:

1.  Cho $a\epsilon N t/m \sqrt{a}\epsilon Q. Cmr: \sqrt{a}\epsilon N$

2. Cho $x,y\epsilon N$ thỏa mãn $\sqrt{x}+\sqrt{y}=a\epsilon N.$ Cmr:$\sqrt{x},\sqrt{y}\epsilon N$

3. Tìm $x,y\epsilon \mathbb{N}* t/m:\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{x+y}+2$

Cách giải là dùng bài 1 để áp dụng cho bài 2,3.

Em làm thế này:

1. $\sqrt{a}\epsilon Q=> \sqrt{a}=\frac{m}{n}(m,n\epsilon Z)=> a=\frac{m^{2}}{n^{2}}$

Vì a là số tự nhiên nên $m^{2}\vdots n^{2}=>m\vdots n=> \sqrt{a}\epsilon N$

2. Với $x,y$ không là số chính phương thì $\sqrt{x},\sqrt{y}$ là số vô tỷ=> $\sqrt{x}+\sqrt{y}$ không là số tự nhiên (mâu thuẫn)

Với $x$ là so chính phương còn $y$ không là số chính phương thì $\sqrt{x}+\sqrt{y}$ không là số tự nhiên (mâu thuẫn)

Với $y$ là so chính phương còn $x$ không là số chính phương thì $\sqrt{x}+\sqrt{y}$ không là số tự nhiên (mâu thuẫn)

Vậy $x,y$ đồng thời là số chính phương=>đpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 19-06-2017 - 19:34

Treasure every moment that you have!
And remember that Time waits for no one.
Yesterday is history. Tomorrow is a mystery.
Today is a gift. That’s why it’s called the present.


#2
Hai2003

Hai2003

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 225 Bài viết

Bài 2 có chút vấn đề: Tổng 2 số vô tỉ có thể là số hữu tỉ. VD: $(3- \sqrt{2}) + \sqrt{2} = 3$

Từ $\sqrt{x}+\sqrt{y} = a \Rightarrow x+y+2\sqrt{xy} = a^2 \Rightarrow \sqrt{xy} \in \mathbb{N}$

 

Đặt $xy = n^2$ với $n$ là số tự nhiên thì ta có $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{x}+\sqrt{\frac{n^2}{x}}=\sqrt{x}\left(1+\frac{n}{x}\right) \in \mathbb{N}$

Dễ thấy $1+\frac{n}{x}$ là số hữu tỉ nên $\sqrt{x}$ cũng phải là số hữu tỉ. Áp dụng bài 1 ta suy ra điều phải chứng minh.

 

Bài 3

Bình phương 2 vế rồi thu gọn được $\sqrt{xy}-2 = 2\sqrt{x+y} \quad \color{red}{(1)}$

Tiếp tục bình phương 2 vế: $4\sqrt{xy} = xy+4-4(x+y) \in \mathbb{N}$ nên $\sqrt{xy} \in \mathbb{N}$  Từ $\color{red}{(1)}$ suy ra $\sqrt{x+y} \in \mathbb{N}$

Từ PT ban đầu thì $\sqrt{x}+\sqrt{y} \in \mathbb{N}$. Đến đây thì áp dụng bài 2 thôi



#3
MoMo123

MoMo123

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 334 Bài viết

Em có 3 bài toán thế này, nhờ mọi người kiểm tra cách làm của em giúp ạ:

1.  Cho $a\epsilon N t/m \sqrt{a}\epsilon Q. Cmr: \sqrt{a}\epsilon N$

2. Cho $x,y\epsilon N$ thỏa mãn $\sqrt{x}+\sqrt{y}=a\epsilon N.$ Cmr:$\sqrt{x},\sqrt{y}\epsilon N$

3. Tìm $x,y\epsilon \mathbb{N}* t/m:\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{x+y}+2$

Cách giải là dùng bài 1 để áp dụng cho bài 2,3.

Em làm thế này:

1. $\sqrt{a}\epsilon Q=> \sqrt{a}=\frac{m}{n}(m,n\epsilon Z)=> a=\frac{m^{2}}{n^{2}}$

Vì a là số tự nhiên nên $m^{2}\vdots n^{2}=>m\vdots n=> \sqrt{a}\epsilon N$

2. Với $x,y$ không là số chính phương thì $\sqrt{x},\sqrt{y}$ là số vô tỷ=> $\sqrt{x}+\sqrt{y}$ không là số tự nhiên (mâu thuẫn)

Với $x$ là so chính phương còn $y$ không là số chính phương thì $\sqrt{x}+\sqrt{y}$ không là số tự nhiên (mâu thuẫn)

Với $y$ là so chính phương còn $x$ không là số chính phương thì $\sqrt{x}+\sqrt{y}$ không là số tự nhiên (mâu thuẫn)

Vậy $x,y$ đồng thời là số chính phương=>đpcm

 

Mình có cách làm bài 2 như thế này bạn xem co duoc khong nhe 

 

$\sqrt{x}-a=\sqrt{y} \rightarrow (\sqrt{x}-a)^{2}=y$

$\Leftrightarrow x+a^{2}-2a\sqrt{x}=y$

Vì $x,a^{2},y\in Z \rightarrow 2a\sqrt{x}\in Z \rightarrow \sqrt{x}\in Z$

 

Tương tự vs trường hợp$\sqrt{y}$



#4
Tea Coffee

Tea Coffee

    Trung úy

  • Điều hành viên THPT
  • 772 Bài viết

Bài 2 có chút vấn đề: Tổng 2 số vô tỉ có thể là số hữu tỉ. VD: $(3- \sqrt{2}) + \sqrt{2} = 3$

Từ $\sqrt{x}+\sqrt{y} = a \Rightarrow x+y+2\sqrt{xy} = a^2 \Rightarrow \sqrt{xy} \in \mathbb{N}$

 

Đặt $xy = n^2$ với $n$ là số tự nhiên thì ta có $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{x}+\sqrt{\frac{n^2}{x}}=\sqrt{x}\left(1+\frac{n}{x}\right) \in \mathbb{N}$

Dễ thấy $1+\frac{n}{x}$ là số hữu tỉ nên $\sqrt{x}$ cũng phải là số hữu tỉ. Áp dụng bài 1 ta suy ra điều phải chứng minh.

 

Bài 3

Bình phương 2 vế rồi thu gọn được $\sqrt{xy}-2 = 2\sqrt{x+y} \quad \color{red}{(1)}$

Tiếp tục bình phương 2 vế: $4\sqrt{xy} = xy+4-4(x+y) \in \mathbb{N}$ nên $\sqrt{xy} \in \mathbb{N}$  Từ $\color{red}{(1)}$ suy ra $\sqrt{x+y} \in \mathbb{N}$

Từ PT ban đầu thì $\sqrt{x}+\sqrt{y} \in \mathbb{N}$. Đến đây thì áp dụng bài 2 thôi

Ý mình tổng 2 số vô tỷ không là số tự nhiên mà


Treasure every moment that you have!
And remember that Time waits for no one.
Yesterday is history. Tomorrow is a mystery.
Today is a gift. That’s why it’s called the present.


#5
Tea Coffee

Tea Coffee

    Trung úy

  • Điều hành viên THPT
  • 772 Bài viết

Bài 3

Bình phương 2 vế rồi thu gọn được $\sqrt{xy}-2 = 2\sqrt{x+y} \quad \color{red}{(1)}$

Tiếp tục bình phương 2 vế: $4\sqrt{xy} = xy+4-4(x+y) \in \mathbb{N}$ nên $\sqrt{xy} \in \mathbb{N}$  Từ $\color{red}{(1)}$ suy ra $\sqrt{x+y} \in \mathbb{N}$

Từ PT ban đầu thì $\sqrt{x}+\sqrt{y} \in \mathbb{N}$. Đến đây thì áp dụng bài 2 thôi

Bài 3 mình đánh giá như cách mình làm bài 2 ở phía trên để có $\sqrt{x},\sqrt{y},\sqrt{x+y}\epsilon N$ được không


Treasure every moment that you have!
And remember that Time waits for no one.
Yesterday is history. Tomorrow is a mystery.
Today is a gift. That’s why it’s called the present.


#6
Hai2003

Hai2003

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 225 Bài viết

Ý mình tổng 2 số vô tỷ không là số tự nhiên mà

Nhưng mà tổng 2 số vô tỷ có thể là số tự nhiên nha bạn. Nên suy ra như vậy là không được.

Còn bài 3 bạn đánh giá như bài 2 là sao, mình không hiểu



#7
Tea Coffee

Tea Coffee

    Trung úy

  • Điều hành viên THPT
  • 772 Bài viết

Nhưng mà tổng 2 số vô tỷ có thể là số tự nhiên nha bạn. Nên suy ra như vậy là không được.

Còn bài 3 bạn đánh giá như bài 2 là sao, mình không hiểu

Mình đã hỏi thầy chuyên toán huyện mình rồi,không có chuyện tổng 2 số vô tỷ là số tự nhiên đâu


Treasure every moment that you have!
And remember that Time waits for no one.
Yesterday is history. Tomorrow is a mystery.
Today is a gift. That’s why it’s called the present.


#8
Hai2003

Hai2003

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 225 Bài viết

Mình đã hỏi thầy chuyên toán huyện mình rồi,không có chuyện tổng 2 số vô tỷ là số tự nhiên đâu

Thầy nói vậy thì mình cũng thua.

Ví dụ đơn giản nhất là $-\sqrt{2}$ và $\sqrt{2}$ đều là số vô tỷ. Và tổng của chúng bằng $0$ là số tự nhiên.



#9
Tea Coffee

Tea Coffee

    Trung úy

  • Điều hành viên THPT
  • 772 Bài viết

Thầy nói vậy thì mình cũng thua.

Ví dụ đơn giản nhất là $-\sqrt{2}$ và $\sqrt{2}$ đều là số vô tỷ. Và tổng của chúng bằng $0$ là số tự nhiên.

Vậy ngoài trường hợp 2 số đó không là số đối thì sao? $\sqrt{x},\sqrt{y}\geq 0$ mà


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 19-06-2017 - 22:30

Treasure every moment that you have!
And remember that Time waits for no one.
Yesterday is history. Tomorrow is a mystery.
Today is a gift. That’s why it’s called the present.


#10
Hai2003

Hai2003

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 225 Bài viết

Vậy ngoài trường hợp 2 số đó không là số đối thì sao? $\sqrt{x},\sqrt{y}\geq 0$ mà

Thì cái ví dụ của mình đấy $(3- \sqrt{2}) + \sqrt{2} = 3$. 



#11
Tea Coffee

Tea Coffee

    Trung úy

  • Điều hành viên THPT
  • 772 Bài viết

Thì cái ví dụ của mình đấy $(3- \sqrt{2}) + \sqrt{2} = 3$. 

Ồ, cảm ơn bạn nhé


Treasure every moment that you have!
And remember that Time waits for no one.
Yesterday is history. Tomorrow is a mystery.
Today is a gift. That’s why it’s called the present.


#12
didifulls

didifulls

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 221 Bài viết

 Có TH đúng có TH sai nên ta chưa khẳng định đ.c gì :vv


''.''





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh