Chủ đề này có 1 trả lời

[caybutbixanh]

Bài toán: Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left | z \right |=1$.Tìm giá trị lớn nhất của $P=\left | z^3-z+2 \right |$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi caybutbixanh: 20-06-2017 - 19:30

[chanhquocnghiem]

Bài toán: Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left | z \right |=1$.Tìm giá trị lớn nhất của $P=\left | z^3-z+2 \right |$

Ta có :

$z=\cos\varphi +i\sin\varphi \Rightarrow z^3=\cos3\varphi +i\sin3\varphi$

$\Rightarrow z^3-z+2=(\cos3\varphi -\cos\varphi +2)+i(\sin3\varphi -\sin\varphi )$

$\Rightarrow P^2=(\cos3\varphi -\cos\varphi +2)^2+(\sin3\varphi -\sin\varphi )^2$

$=6-4\cos\varphi -2\cos3\varphi \cos\varphi-2\sin3\varphi\sin\varphi+4\cos3\varphi=6-4\cos\varphi-2\cos2\varphi+4\cos3\varphi$

Đặt $P^2=f(\varphi)\Rightarrow f'(\varphi)=4\sin\varphi+4\sin2\varphi-12\sin3\varphi$

$f'(\varphi)=0\Leftrightarrow \sin\varphi+\sin2\varphi-3\sin3\varphi=0\Leftrightarrow \sin\varphi+2\sin\varphi\cos\varphi-3(3\sin\varphi-4\sin^3\varphi)=0$

$\Leftrightarrow \cos\varphi=1$ hoặc $\cos\varphi=-1$ hoặc $\cos\varphi=-\frac{1}{2}$ hoặc $\cos\varphi=\frac{2}{3}$

+ $\cos\varphi=1\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\cos2\varphi=1\\\cos3\varphi=1 \end{matrix}\right.\Rightarrow P^2=4\Rightarrow P=2$ (1)

+ $\cos\varphi=-1\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\cos2\varphi=1\\\cos3\varphi=-1 \end{matrix}\right.\Rightarrow P^2=4\Rightarrow P=2$ (2)

+ $\cos\varphi=-\frac{1}{2}\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\cos2\varphi=-\frac{1}{2}\\\cos3\varphi=1 \end{matrix}\right.\Rightarrow P^2=13\Rightarrow P=\sqrt{13}$ (3)

+ $\cos\varphi=\frac{2}{3}\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\cos2\varphi=-\frac{1}{9}\\\cos3\varphi=-\frac{22}{27} \end{matrix}\right.\Rightarrow P^2=\frac{8}{27}\Rightarrow P=\frac{2\sqrt6}{9}$ (4)

So sánh (1),(2),(3),(4) $\Rightarrow$ GTLN của $P$ là $\sqrt{13}$ (xảy ra khi $\cos\varphi=-\frac{1}{2}$)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 21-06-2017 - 09:16