Chủ đề này có 1 trả lời

[trungdung19122002]

Cho các số thực không âm $a;b;c$ thỏa mãn $a+b+c= \sqrt{5}$ . Chứng minh rằng $(a^2-b^2)(b^2-c^2)(c^2-a^2)\leq \sqrt{5}$

[iloveyouproht]

Cho các số thực không âm $a;b;c$ thỏa mãn $a+b+c= \sqrt{5}$ . Chứng minh rằng $(a^2-b^2)(b^2-c^2)(c^2-a^2)\leq \sqrt{5}$

giả sử c=min(a,b,c)

 $P=(b^{2}-a^{2})(b^{2}-c^{2})(a^{2}-c^{2})$ nếu $a\geq b$ thì $P\leq 0$ (BĐT Đúng )

Nếu b>a . Ta có :

$P\leq a^{2}b^{2}(b^{2}-a^{2})$

$P^{2}\leq a^{4}b^{4}(b^{2}-a^{2})^{2}= a^{4}b^{4}(b+a)^{2}(b-a)^{2}\leq 5a^{4}b^{4}(b-a)^{2}$

Mà theo AM-GM : $a^{4}b^{4}(b-a)^{2}\leq \left [ \frac{(b-a)^{2}+ab+ab+ab+ab}{5} \right ]^{5}=\left [ \frac{(a+b)^{2}}{5} \right ]^{5}\leq 1$

=> $P\leq \sqrt{5}$ ( ĐPCM )

Dấu = xảy ra khi $(b-a)^{2}=ab$ và $a+b=\sqrt{5}$ ( cái nhiệm này b tự giải nhá ) 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi iloveyouproht: 28-06-2017 - 20:38