Chủ đề này có 6 trả lời

[supernatural1]

Cho ba số dương a,b,c. Chứng minh rằng:

$ \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \geq \sqrt{\frac{10(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{ab+bc+ca}-1} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supernatural1: 21-06-2017 - 17:59

[tuaneee111]

Do mình hơi bận nên chỉ nêu hướng làm thôi nhá!

Không mất tính tổng quát ta giả sử $c = \max \left\{ {a,b,c} \right\}$

Ta có: $${\left( {\sum\limits_{cyc} {\frac{a}{b}} } \right)^2} - \frac{{10\sum\limits_{cyc} {{a^2}} }}{{\sum\limits_{cyc} {ab} }} + 1 = {\left( {a - b} \right)^2}\left( {\frac{{{a^2}c + {b^2}a + {c^2}b}}{{{a^2}{b^2}c}} - \frac{{10}}{{ab + bc + ca}}} \right)$$$$ + \left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)\left( {\frac{{{a^2}c + {b^2}a + {c^2}b}}{{{a^2}b{c^2}}} - \frac{{10}}{{ab + bc + ca}}} \right)$$Đến đây quy đồng khai triển và sử dụng điều kiện ta có thể chứng minh đc 2 biểu thức trong ngoặc luôn dương!

[supernatural1]

Ko làm theo cách sơ cấp được à

[supernatural1]

Bạn ơi mình làm không ra như bạn đâu

[supernatural1]

Do mình hơi bận nên chỉ nêu hướng làm thôi nhá!
Không mất tính tổng quát ta giả sử $c = \max \left\{ {a,b,c} \right\}$
Ta có: $${\left( {\sum\limits_{cyc} {\frac{a}{b}} } \right)^2} - \frac{{10\sum\limits_{cyc} {{a^2}} }}{{\sum\limits_{cyc} {ab} }} + 1 = {\left( {a - b} \right)^2}\left( {\frac{{{a^2}c + {b^2}a + {c^2}b}}{{{a^2}{b^2}c}} - \frac{{10}}{{ab + bc + ca}}} \right)$$$$ + \left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)\left( {\frac{{{a^2}c + {b^2}a + {c^2}b}}{{{a^2}b{c^2}}} - \frac{{10}}{{ab + bc + ca}}} \right)$$Đến đây quy đồng khai triển và sử dụng điều kiện ta có thể chứng minh đc 2 biểu thức trong ngoặc luôn dương!

Bạn làm rõ ra đi mình làm mãi ko được

[tuaneee111]

Bạn làm rõ ra đi mình làm mãi ko được

Đây là phương pháp SS mà, nếu bạn chưa học có thể tìm trên Google hoặc tìm ở cuốn Những Viên Kim Cương bđt - Trần Phương

Mấu chốt là sử dụng 2 đẳng thức sau: $$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} - 3 = \frac{1}{{ab}}{\left( {a - b} \right)^2} + \frac{1}{{ac}}\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)$$$${a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca = {\left( {a - b} \right)^2} + \left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)$$Đến đây bp rồi áo dụng là ra! 

[supernatural1]

Đây là phương pháp SS mà, nếu bạn chưa học có thể tìm trên Google hoặc tìm ở cuốn Những Viên Kim Cương bđt - Trần Phương
Mấu chốt là sử dụng 2 đẳng thức sau: $$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} - 3 = \frac{1}{{ab}}{\left( {a - b} \right)^2} + \frac{1}{{ac}}\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)$$$${a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca = {\left( {a - b} \right)^2} + \left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)$$Đến đây bp rồi áo dụng là ra!

Bạn ơi cái trong ngoặc ko luôn dương đâu thử a=b=c=1 thì nó âm đấy