Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x+y+z=xyz$. Chứng minh rằng:
$\sum \frac{x}{x^2+1}\leq \frac{3\sqrt{3}}{4}$
Cho $x,y,z>0$,$x+y+z=xyz$. CM: $\sum \frac{x}{x^2+1}\leq \frac{3\sqrt{3}}{4}$
Bắt đầu bởi Sketchpad3356, 23-06-2017 - 11:26
bất đẳng thức và cực trị
#2
Đã gửi 23-06-2017 - 14:04
God Guys
-
- Thành viên mới
-
- 9 Bài viết
Lính mới
x+y+z=xyz $\Rightarrow$ $\sum$ $\frac{1}{xy}$ = 1
Đặt $(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z})$ = $(m,n,p)$
$\rightarrow$ $\sum$ $\frac{x}{x^2+1}$ = $\sum$ $\frac{m}{m^2+1}$
và $mn+np+pm=1$
$\Rightarrow$ $\sum$ $\frac{m}{m^2+1}$ = $\sum$ $\frac{m}{(m+n)(m+p)}$ = $\frac{2(\sum mn)}{\prod(m+n)}$
lại có $\frac{8}{9}$($\sum$ m)($\sum$ mn) $\leq $ $\prod$ (m+n)
$\Rightarrow$ $LHS$ $\leq$ $\frac{2}{m+n+p}$ $\leq$ $\frac{3\sqrt{3}}{4}$ (do $\sum$ $mn$=3)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi God Guys: 23-06-2017 - 14:06
- sharker yêu thích
#3
Đã gửi 23-06-2017 - 14:47
Hoang Dinh Nhat
-
- Thành viên
-
- 402 Bài viết
Sĩ quan
x+y+z=xyz $\Rightarrow$ $\sum$ $\frac{1}{xy}$ = 1Đặt $(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z})$ = $(m,n,p)$$\rightarrow$ $\sum$ $\frac{x}{x^2+1}$ = $\sum$ $\frac{m}{m^2+1}$và $mn+np+pm=1$$\Rightarrow$ $\sum$ $\frac{m}{m^2+1}$ = $\sum$ $\frac{m}{(m+n)(m+p)}$ = $\frac{2(\sum mn)}{\prod(m+n)}$lại có $\frac{8}{9}$($\sum$ m)($\sum$ mn) $\leq $ $\prod$ (m+n)$\Rightarrow$ $LHS$ $\leq$ $\frac{2}{m+n+p}$ $\leq$ $\frac{3\sqrt{3}}{4}$ (do $\sum$ $mn$=3)
Bạn làm tốt cả bài nhưng lại sai ở biến đổi cuối: $LHS\leq \frac{9}{4(m+n+p)}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Dinh Nhat: 23-06-2017 - 14:47
Chấp nhận giới hạn của bản thân, nhưng đừng bao giờ bỏ cuộc
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức và cực trị
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
