Chủ đề này có 1 trả lời

[Oreki1101]

Cho dãy số $(x_{n})$ thỏa mãn $x_{0}=a$ và $x_{n+1}=2-x_{n}^{2}$

Tìm tất cả các giá trị của a để dãy số có giới hạn hữu hạn

[Hkai Bao]

     Dễ thấy $x_n \leq 2 \quad \forall n$

     Xét hàm số $f(x)=2-x^2$ trên $\mathbb{R}$

Có đạo hàm $f'(x)=-2x ; f'(x)=0 \Rightarrow x=0$

             Vẻ bảng biến thiên. (Vẽ)

    Trường hợp 1: $a<-2$. Khi đó $x_{n+1}=f(x_n) < -2$ và $x_n$ là dãy số giảm. Giả sử dãy số $x_n$ có giới hạn trong $(-\infty; -2 )$, gọi $\lim_{n \to +\infty} x_n = L$. Khi đó $L=-2 \vee L=1$, mâu thuẫn do nếu  $\lim_{n\to +\infty} x_n=-2$ thì $-2 ; 1\leq x_n <-2$.

    Trường hợp 2: $a=-2$. Khi đó $x_n=-2 \quad \forall n$, nên $\lim_{n \to +\infty} x_n=-2$.

    Trường hợp 3: $-2<a<1$. Khi đó $-2<x_n<2$ và $x_n$ là dãy số tăng, bị chặn trên. Suy ra $x_n$ có giới hạn.

Gọi giới hạn đó là L. Giải phương trình $L^2+L-2=0$ ta có được $\lim_{n \to +\infty}x_n=L=1$. ($L=-2$ loại, lý luận tương tự trường hợp 1)

    Trường hợp 4: $a=1$. Khi đó $x_n=1 \quad \forall n$, nên $\lim_{n\to +\infty} x_2=1$.

    Trường hợp 5: $2>a>1$. Khi đó $-2<x_2<1$, ta trở về trường hợp 3. vậy giới hạn trong trường hợp này là $\lim_{n\to + \infty} x_n=1$. 

    Trường hợp 6: $a=2$. Khi đó $x_2=-2$, ta trở về trường hợp 2, vậy giới hạn trong trường hợp này là $\lim_{n\to +\infty} x_n=-2$.