Chủ đề này có 3 trả lời

[Nguyenphuctang]

BANKAN MO 2017

 

Bài 1: Giải phương trình: $$x^{3} +y^{3} =x^{2}+42xy +y^{2} \ (x,y \in \mathbb{N}^{*})$$

 

Bài 2: Cho tam giác nhọn $ABC$ với $AB <AC$ và $\omega$ là đường tròn ngoại tiếp của nó. Gọi $t_{B} , t_{C} $ là 2 tiếp tuyến của $\omega$ tại $B$ và $C $ tương ứng, và $L$ là giao điểm của chúng.Đường thẳng qua $B$ và song song với $AC$ cắt $t_{C} $ tại $D$. Đường thẳng qua $C$ và song song với $AB$ cắt $t_{B}$ tại $E$. $(BDC)$ cắt đoạn $AC$ tại $T$. $(BEC)$ cắt $AB$ tại $S$ sao cho $B$ nằm giữa $S$ và $A$. Chứng minh rằng $ST,AL$ và $BC$ đồng quy.

 

Bài 3: Tìm tất cả hàm số $f: \mathbb{N}^{*} \longrightarrow \mathbb{N}^{*} $ sao cho: $$n+ f(m) \mid f(n ) +n f(m) \ \forall m,n \in \mathbb{N}^{*}$$

 

Bài 4: Có n> 2 sinh viên ngồi quanh một bàn tròn và mỗi sinh viên có đúng 1 cái kẹo. Ở mỗi bước, mỗi sinh viên thực hiện một trong hai thao tác sau (họ làm đồng thời):

1) Chuyển 1 cái kẹo cho một trong hai người ngồi cạnh.

2) Chia số kẹo của mình thành hai phần (có thể rỗng) và chuyển hai phần đó cho hai người ngồi cạnh, mỗi người một phần. Một cách chia kẹo được gọi là tốt nếu sau hữu hạn lần thực hiện thao tác trên, cách chia kẹo đó được hình thành.

Hỏi có bao nhiêu cách chia kẹo tốt?

 

Nguồn: Thầy Nguyễn Trung Tuân.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenphuctang: 24-06-2017 - 18:36

[trieutuyennham]

Câu 1

Ta có 

x³+y³=x²+y²+42xy

$\Leftrightarrow$ (x+y)³-3xy(x+y)-(x+y)²-40xy=0

Đặt x+y=S;xy=P(S;P$\in N^{*}$;S²$\geq$4P)

PT$\Leftrightarrow$ S³-S²-3SP-40P=0

$\Rightarrow P=\frac{S^{3}-S^{2}}{3S-40}$

[Baoriven]

Câu 1:

Ta có: $x+y=1+\frac{43xy}{x^2-xy+y^2}\in \mathbb{N}$.

Đặt $(x;y)=d$ suy ra $x=pd,y=qd$ với $(p;q)=1$.

Do đó: $\frac{43pq}{p^2-pq+q^2}\in \mathbb{N}$.

Ta lại có: $(p,p^2-pq+q^2)=(q,p^2-pq+q^2)=1.$

Nên: ta xét $2$ trường hợp:

1) $p^2-pq+q^2=1$, suy ra $p=q=1$. Từ đó, ta được: $x=y=22$.

2) $p^2-pq+q^2=43$, ta được $(p;q)=(7;1);(1;7)$, suy ra: $(x;y)=(7;1);(1;7)$.

Ta loại trường hợp $(p;q)=(7;6);(6;7)$ do không tìm được $x;y$ thỏa mãn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 24-06-2017 - 21:55

[NHoang1608]

Có tại đây rồi mà nhỉ     https://diendantoanh...72686-bmo-2017/