Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

CMR: $(b-c).\cot \frac{A}{2}+(c-a).\cot \frac{B}{2}+(a-b). \cot \frac{C}{2}=0 $


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 happypolla

happypolla

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 189 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 24-06-2017 - 21:43

Trong tam giac ABC, CMR: $(b-c).\cot \frac{A}{2}+(c-a).\cot \frac{B}{2}+(a-b). \cot \frac{C}{2}=0$



#2 huykinhcan99

huykinhcan99

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 331 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Toán K26 - Chuyên Thái Nguyên

Đã gửi 24-06-2017 - 22:47

Áp dụng định lý $cosin$ cho tam giác $ABC$

\begin{align*} &\phantom{\iff~} \cos A = \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \\ &\iff \dfrac{1-\cos A}{2} = \dfrac{a^2-\left(b-c\right)^2}{4bc} \\ &\iff \sin^2 \dfrac{A}{2} =\dfrac{\left(a-b+c\right)\left(a+b-c\right)}{4bc} \\ &\iff \sin^2 \dfrac{A}{2} =\dfrac{\left(p-b\right)\left(p-c\right)}{bc} \quad \text{(với $p=\dfrac{a+b+c}{2}$)} \end{align*}

 

Từ đó ta có

\begin{align*} \cot^2\dfrac{A}{2} &=\dfrac{1}{\sin^2 \dfrac{A}{2}}-1 \\ &= \dfrac{bc}{\left(p-b\right)\left(p-c\right)} - 1 \\ &= \dfrac{bc-\left(p-b\right)\left(p-c\right)}{\left(p-b\right)\left(p-c\right)} \\ & =\dfrac{p\left[\left(b+c\right)-p\right]}{\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\\ & =\dfrac{p\left[\left(2p-a\right)-p\right]}{\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\\ &=\dfrac{p\left(p-a\right)}{\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\\ &=\dfrac{p^2\left(p-a\right)^2}{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\\ &=\dfrac{p^2\left(p-a\right)^2}{S^2} \end{align*}

 

Vậy

\[\cot \dfrac{A}{2}=\dfrac{p\left(p-a\right)}{S}\]

 

Tương tự

\begin{align*} \cot \dfrac{B}{2}&=\dfrac{p\left(p-b\right)}{S} \\ \cot \dfrac{C}{2}&=\dfrac{p\left(p-c\right)}{S}\end{align*}

 

Khi đó

\begin{align*} (b-c).\cot \frac{A}{2}+(c-a).\cot \frac{B}{2}+(a-b). \cot \frac{C}{2} &=\dfrac{p\left[\left(b-c\right)\left(p-a\right)+\left(c-a\right)\left(p-b\right)+\left(a-b\right)\left(p-c\right)\right]}{S} \\ &=\dfrac{p\left\{\left(b-c\right)\left(p-a\right)+\left(c-a\right)\left(p-b\right)-\left[\left(b-c\right)+\left(c-a\right)\right]\left(p-c\right)\right\}}{S} \\ &=\dfrac{p\left\{\left(b-c\right)\left[\left(p-a\right)-\left(p-c\right)\right]+\left(c-a\right)\left[\left(p-b\right)-\left(p-c\right)\right]\right\}}{S} \\ &=\dfrac{p\left[\left(b-c\right)\left(c-a\right)+\left(c-a\right)\left(c-b\right)\right]}{S}\\ &=0 \end{align*}


$$\text{Vuong Lam Huy}$$




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh