Problem: Let $a,b,c$ be positive numbers
Prove that : $\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} + \frac{3(a^3b+b^3c+c^3a)}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2} \geq 4$
Problem: Let $a,b,c$ be positive numbers
Prove that : $\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} + \frac{3(a^3b+b^3c+c^3a)}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2} \geq 4$
AQ02
Problem: Let $a,b,c$ be positive numbers
Prove that : $\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} + \frac{3(a^3b+b^3c+c^3a)}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2} \geq 4$
Nhầm nghiêm trọng
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Dinh Nhat: 01-07-2017 - 12:20
Chấp nhận giới hạn của bản thân, nhưng đừng bao giờ bỏ cuộc
Ta có BĐT: $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$
BĐT cần chứng minh trở thành: $a^3+b^3c+c^3a\geq a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$
$\Leftrightarrow \frac{(bc+ac-ab)(b-c)^2}{2}+\frac{(ab+ac-bc)(c-a)^2}{2}+\frac{(ab+bc-ac)(a-b)^2}{2}\geq 0$
Không mất tính tổng quát giả sử: $a\geq b\geq c$. Ta có:
$\frac{bc+ac-ab}{2}+\frac{ab+ac-bc}{2}=ac>0;\frac{ab+ac-bc}{2}+\frac{ab+bc-ac}{2}=ab>0$
$\Rightarrow \frac{(bc+ac-ab)(b-c)^2}{2}+\frac{(ab+ac-bc)(c-a)^2}{2}+\frac{(ab+bc-ac)(a-b)^2}{2}\geq 0$
$\Rightarrow a^3+b^3c+c^3a\geq a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$ $Q.E.D$
Đạt tại: $a=b=c$
Không đối xứng nên không có quyền giả sử như vậy bạn à
P/s: Bài này đòi hỏi skill max chất ms giải đc
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnhTran2911: 01-07-2017 - 11:41
AQ02
Gợi ý: các bạn có thể khai triển, chuẩn hóa $abc=1$ SD BĐT Schur bậc 3 cùng vs bổ đề sau:
Bổ đề: a,b,c thực dương thỏa mãn abc=1 . CMR: $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq{a+b+c}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnhTran2911: 01-07-2017 - 11:47
AQ02
Không đối xứng nên không có quyền giả sử như vậy bạn à
P/s: Bài này đòi hỏi skill max chất ms giải đc
Đang tìm cách đánh giá hệ số
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Dinh Nhat: 01-07-2017 - 12:01
Chấp nhận giới hạn của bản thân, nhưng đừng bao giờ bỏ cuộc
Ơ sao không đối xứng
Các đại lương $a^3b;b^3c;c^3a$ không hề đối xứng
P/s: Đúng là bạn chưa hề hiểu rõ trong việc đánh gía các hệ số rong phương pháp $S.O.S$ rồi
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnhTran2911: 01-07-2017 - 11:52
AQ02
Đang tìm cách đánh giá hệ số
Phải kết hợp cả 2 đại lượng ms giải đc. Đại lượng đầu bạn cho lỏng quá. Với lại BĐT cuối cùng của bạn CM là sai.
Mình xin dẫn ra đây cách giải khác đầy ý nghĩa và đáng học tập ngoài cách giải của mình
Nhân cả 2 vế của BĐT với $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$ và sau vài phép BĐTĐ ta đưa về CM BĐT:
$ab(2a-b)^2+bc(2b-c)^2+ca(2c-a)^2\geq{\frac{abc(a+b+c)(2\sum{a^2}-\sum{ab})}{ab+bc+ca}}$
Mặt khác theo BĐT $ Cauchy-Schwarz$ ta có đánh giá:
$\sum{ab(2a-b)^2}=\sum{\frac{abc(2a^2-ab)^2}{ca^2}}\geq{\frac{abc(2\sum{a^2}-\sum{ab})^2}{ab^2+bc^2+ca^2}}$
Như vậy ta chỉ còn CM : $(2\sum{a^2}-\sum{ab})(ab+bc+ca)\geq{(a+b+c)(ab^2+bc^2+ca^2)}$
BĐT này tương đương với :
$a^3b+b^3c+c^3a-abc(a+b+c) + \sum{ab(a-b)^2} \geq{0}$
Hay ta cần chỉ ra rằng: $a^3b+b^3c+c^3a\geq{abc(a+b+c)}$
Đơn giản 2 vế cho $abc$ ta đưa về BĐT quen thuộc với phép CM dựa vào $C.S$
$\sum{\frac{a^2}{c}}\geq{a+b+c}$
Hoàn tất lời giải.
AQ02
Mình xin góp thêm 2 bài nữa ủng hộ:
Bài 1: ( Sưu tầm) Cho a,b,c là các số thực dương
CMR: $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{2(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2}\geq{5}$
Bài 2: ( Lê Khánh Sỹ ) Cho a,b,c là các số thực không âm
CMR: $\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{a^2+c^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}+\frac{8(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}\geq{18}$
AQ02
Problem: Let $a,b,c$ be positive numbers
Prove that : $\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} + \frac{3(a^3b+b^3c+c^3a)}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2} \geq 4$
We have
\[\text{LHS - RHS} = \frac{\displaystyle \sum c^2a^2(a+b-2c)^2+3abc \sum c(a-c)^2}{(ab+bc+ca)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}.\]
Mình xin góp thêm 2 bài nữa ủng hộ:
Bài 1: ( Sưu tầm) Cho a,b,c là các số thực dương
CMR: $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{2(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2}\geq{5}$
Bài này phân tích về dạng chuẩn tắc của kỹ thuật S-S sẽ ra một bất đẳng thức hiển nhiên.
Bài 2: ( Lê Khánh Sỹ ) Cho a,b,c là các số thực không âmCMR: $\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{a^2+c^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}+\frac{8(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}\geq{18}$
Sử dụng đánh giá
\[\sum \frac{a^2}{b^2+c^2} \geqslant \sum \frac{a}{b+c} \geqslant \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}.\]
Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên theo bất đẳng thức AM-GM.
Anh Huyện chất quá. Mời mọi người làm thêm mấy bài nữa cho vui ạ :v
Bài 1: ( Sưu tầm) Cho a,b,c là các số thực dương
CMR: $\frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}}+\frac{b^2}{\sqrt{b^2+c^2}}+\frac{c^2}{\sqrt{c^2+a^2}}\geq{\frac{a+b+c}{\sqrt{2}}}$
Bài 2: (MOSP 2004) Cho a,b,c là các số thực không âm
CMR: $a^3+b^3+c^3+3abc\geq{ab\sqrt{2(a^2+b^2)}+bc\sqrt{2(b^2+c^2)}+ca\sqrt{2(c^2+a^2)}}$
Bài 3: Cho a,b,c là các số thực không âm
CMR: $(a^2+ab+bc)(b^2+bc+ca)(c^2+ca+ab)\geq{(ab+bc+ca)^3}$
Bài 4: Cho $a,b,c\geq{0}$ thỏa mãn $a+b+c=3$
CMR: $\frac{1}{ab^2+8}+\frac{1}{bc^2+8}+\frac{1}{ca^2+8}\geq{\frac{1}{3}}$
Bài 5: Cho a,b,c khác nhau từng đôi một
CMR: $\sum{\frac{a^2}{(b-c)^2}+1\geq{\frac{3}{4}.\frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnhTran2911: 07-07-2017 - 23:21
AQ02
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh