Chủ đề này có 10 trả lời

[AnhTran2911]

Problem: Let $a,b,c$ be positive numbers 

                Prove that : $\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} + \frac{3(a^3b+b^3c+c^3a)}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2} \geq 4$

[Hoang Dinh Nhat]

Problem: Let $a,b,c$ be positive numbers 

                Prove that : $\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} + \frac{3(a^3b+b^3c+c^3a)}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2} \geq 4$

Nhầm nghiêm trọng

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Dinh Nhat: 01-07-2017 - 12:20

[AnhTran2911]

Ta có BĐT: $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$

BĐT cần chứng minh trở thành: $a^3+b^3c+c^3a\geq a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$

$\Leftrightarrow \frac{(bc+ac-ab)(b-c)^2}{2}+\frac{(ab+ac-bc)(c-a)^2}{2}+\frac{(ab+bc-ac)(a-b)^2}{2}\geq 0$

Không mất tính tổng quát giả sử: $a\geq b\geq c$. Ta có: 

$\frac{bc+ac-ab}{2}+\frac{ab+ac-bc}{2}=ac>0;\frac{ab+ac-bc}{2}+\frac{ab+bc-ac}{2}=ab>0$

$\Rightarrow \frac{(bc+ac-ab)(b-c)^2}{2}+\frac{(ab+ac-bc)(c-a)^2}{2}+\frac{(ab+bc-ac)(a-b)^2}{2}\geq 0$

$\Rightarrow a^3+b^3c+c^3a\geq a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$ $Q.E.D$

Đạt tại: $a=b=c$

Không đối xứng nên không có quyền giả sử như vậy bạn à

P/s: Bài này đòi hỏi skill max chất ms giải đc

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnhTran2911: 01-07-2017 - 11:41

[AnhTran2911]

Gợi ý: các bạn có thể khai triển, chuẩn hóa $abc=1$ SD BĐT Schur bậc 3 cùng vs bổ đề sau:

Bổ đề: a,b,c thực dương thỏa mãn abc=1 . CMR: $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq{a+b+c}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnhTran2911: 01-07-2017 - 11:47

[Hoang Dinh Nhat]

Không đối xứng nên không có quyền giả sử như vậy bạn à

P/s: Bài này đòi hỏi skill max chất ms giải đc

Đang tìm cách đánh giá hệ số

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Dinh Nhat: 01-07-2017 - 12:01

[AnhTran2911]

Ơ sao không đối xứng

Các đại lương $a^3b;b^3c;c^3a$ không hề đối xứng

P/s: Đúng là bạn chưa hề hiểu rõ trong việc đánh gía các hệ số rong phương pháp $S.O.S$ rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnhTran2911: 01-07-2017 - 11:52

[AnhTran2911]

Đang tìm cách đánh giá hệ số

Phải kết hợp cả 2 đại lượng ms giải đc. Đại lượng đầu bạn cho lỏng quá. Với lại BĐT cuối cùng của bạn CM là sai.

Mình xin dẫn ra đây cách giải khác đầy ý nghĩa và đáng học tập ngoài cách giải của mình

Nhân cả 2 vế của BĐT với $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$ và sau vài phép BĐTĐ ta đưa về CM BĐT:

$ab(2a-b)^2+bc(2b-c)^2+ca(2c-a)^2\geq{\frac{abc(a+b+c)(2\sum{a^2}-\sum{ab})}{ab+bc+ca}}$ 

Mặt khác theo BĐT $ Cauchy-Schwarz$ ta có đánh giá:

$\sum{ab(2a-b)^2}=\sum{\frac{abc(2a^2-ab)^2}{ca^2}}\geq{\frac{abc(2\sum{a^2}-\sum{ab})^2}{ab^2+bc^2+ca^2}}$

Như vậy ta chỉ còn CM : $(2\sum{a^2}-\sum{ab})(ab+bc+ca)\geq{(a+b+c)(ab^2+bc^2+ca^2)}$

BĐT này tương đương với :

$a^3b+b^3c+c^3a-abc(a+b+c) + \sum{ab(a-b)^2} \geq{0}$

Hay ta cần chỉ ra rằng: $a^3b+b^3c+c^3a\geq{abc(a+b+c)}$

Đơn giản 2 vế cho $abc$ ta đưa về BĐT quen thuộc với phép CM dựa vào $C.S$

$\sum{\frac{a^2}{c}}\geq{a+b+c}$

Hoàn tất lời giải. 

[AnhTran2911]

Mình xin góp thêm 2 bài nữa ủng hộ:

Bài 1: ( Sưu tầm) Cho a,b,c là các số thực dương 

                              CMR: $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{2(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2}\geq{5}$

Bài 2: ( Lê Khánh Sỹ ) Cho a,b,c là các số thực không âm

                              CMR: $\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{a^2+c^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}+\frac{8(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}\geq{18}$

 

[Nguyenhuyen_AG]

Problem: Let $a,b,c$ be positive numbers 

                Prove that : $\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} + \frac{3(a^3b+b^3c+c^3a)}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2} \geq 4$

 

We have

\[\text{LHS - RHS} = \frac{\displaystyle \sum c^2a^2(a+b-2c)^2+3abc \sum c(a-c)^2}{(ab+bc+ca)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}.\]

[Nguyenhuyen_AG]

Mình xin góp thêm 2 bài nữa ủng hộ:

Bài 1: ( Sưu tầm) Cho a,b,c là các số thực dương 

                              CMR: $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{2(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2}\geq{5}$

 

Bài này phân tích về dạng chuẩn tắc của kỹ thuật S-S sẽ ra một bất đẳng thức hiển nhiên.

 

Bài 2: ( Lê Khánh Sỹ ) Cho a,b,c là các số thực không âm

                              CMR: $\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{a^2+c^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}+\frac{8(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}\geq{18}$

 

Sử dụng đánh giá

\[\sum \frac{a^2}{b^2+c^2} \geqslant \sum \frac{a}{b+c} \geqslant \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}.\]

Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên theo bất đẳng thức AM-GM.

[AnhTran2911]

Anh Huyện chất quá. Mời mọi người làm thêm mấy bài nữa cho vui ạ :v

Bài 1: ( Sưu tầm) Cho a,b,c là các số thực dương

CMR: $\frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}}+\frac{b^2}{\sqrt{b^2+c^2}}+\frac{c^2}{\sqrt{c^2+a^2}}\geq{\frac{a+b+c}{\sqrt{2}}}$

Bài 2: (MOSP 2004) Cho a,b,c là các số thực không âm

CMR: $a^3+b^3+c^3+3abc\geq{ab\sqrt{2(a^2+b^2)}+bc\sqrt{2(b^2+c^2)}+ca\sqrt{2(c^2+a^2)}}$

Bài 3: Cho a,b,c là các số thực không âm

CMR: $(a^2+ab+bc)(b^2+bc+ca)(c^2+ca+ab)\geq{(ab+bc+ca)^3}$

Bài 4: Cho $a,b,c\geq{0}$ thỏa mãn $a+b+c=3$

CMR: $\frac{1}{ab^2+8}+\frac{1}{bc^2+8}+\frac{1}{ca^2+8}\geq{\frac{1}{3}}$

Bài 5: Cho a,b,c khác nhau từng đôi một

CMR: $\sum{\frac{a^2}{(b-c)^2}+1\geq{\frac{3}{4}.\frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnhTran2911: 07-07-2017 - 23:21