Đề chọn đội tuyển Anh dự thi IMO có bài bất đẳng thức như sau. Em xin đưa ra một số cách giải em biết được. Nếu thấy thiếu anh chị xin bổ sung giúp em. Xin cảm ơn.
Đề bài: Với 3 số thực dương $a,b,c$ có tích bằng $1$. Chứng minh rằng:
$$ \dfrac{a+3}{(a+1)^{2} } + \dfrac{b+3}{(b+1)^{2}} + \dfrac{c+3}{(c+1)^{2}} \geq 3 $$
Lời giải 1:
Không mất tính tổng quát giả sử: $c = min\left \{ a,b,c \right \} \Rightarrow ab \geq 1$
$$ \dfrac{1}{a+1} + \dfrac{1}{b+1} \geq \dfrac{2}{\sqrt{ab}+1} \Leftrightarrow \dfrac{\left ( \sqrt{a} - \sqrt{b} \right )^{2}\left ( \sqrt{ab}-1 \right )}{(a+1)(b+1)(\sqrt{ab}+1)} \geq 0 $$
Lại có:
$$ \dfrac{1}{(a+1)^{2}} + \dfrac{1}{(b+1)^{2}} \geq \dfrac{1}{(1+ab ) \left ( 1+ \dfrac{a}{b} \right )} + \dfrac{1}{(1+ab) \left ( 1+ \dfrac{b}{a} \right ) } = \dfrac{1}{1+ab} $$
Từ trên ta có :
$$ \dfrac{a+3}{(a+1)^{2}} + \dfrac{b+3}{(b+1)^{2}} = \left ( \dfrac{1}{a+1} + \dfrac{1}{b+1} \right ) + 2 \left [ \dfrac{1}{(a+1)^{2}} + \dfrac{1}{(b+1)^{2}} \right ] \geq \dfrac{2}{\sqrt{ab} +1} + \dfrac{2}{ab+1} $$
$$ \geq \dfrac{2}{\dfrac{ab+1}{2} + 1} + \dfrac{2}{ab+1} = \dfrac{4}{ab+3} + \dfrac{2}{ab+1} = \dfrac{4c}{3c+1} + \dfrac{2c}{c+1} $$
Ta chỉ cần chứng minh:
$$ \dfrac{4c}{3c+1} + \dfrac{2c}{c+1} + \dfrac{c+3}{(c+1)^{2}} \geq 3 \Leftrightarrow \dfrac{c(c-1)^{2}}{(3c+1)(c+1)^{2}} \geq 0 $$
Bất đẳng thức cuối luôn đúng. Hoàn tất chứng minh.
Lời giải 2:
Ta chứng minh được hai bổ đề sau:
Bổ đề 1: $$\sum \dfrac{1}{a+1} \geq \dfrac{2}{a+b+c+1} + 1$$
Bổ đề 2:$$ \sum \dfrac{1}{(a+1)^{2} } + \dfrac{1}{a+b+c+1} \geq 1$$
$$ \sum \dfrac{1}{a+1} + 2. \sum \dfrac{1}{(a+1)^{2}} \geq 3 $$