Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * - 1 Bình chọn

Đề chọn đội tuyển Anh dự thi IMO 2005


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1 Nguyenphuctang

Nguyenphuctang

    Sĩ quan

  • Banned
  • 499 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:Đang tải

Đã gửi 26-06-2017 - 18:41

Đề chọn đội tuyển Anh dự thi IMO có bài bất đẳng thức như sau. Em xin đưa ra một số cách giải em biết được. Nếu thấy thiếu anh chị xin bổ sung giúp em. Xin cảm ơn.

 

Đề bài: Với 3 số thực dương $a,b,c$ có tích bằng $1$. Chứng minh rằng:

$$ \dfrac{a+3}{(a+1)^{2} }  + \dfrac{b+3}{(b+1)^{2}} + \dfrac{c+3}{(c+1)^{2}} \geq 3 $$

 

Lời giải 1: 

Không mất tính tổng quát giả sử: $c = min\left \{ a,b,c \right \} \Rightarrow ab \geq 1$

$$ \dfrac{1}{a+1} + \dfrac{1}{b+1} \geq \dfrac{2}{\sqrt{ab}+1} \Leftrightarrow  \dfrac{\left ( \sqrt{a} - \sqrt{b} \right )^{2}\left ( \sqrt{ab}-1 \right )}{(a+1)(b+1)(\sqrt{ab}+1)} \geq 0 $$

Lại có:

$$ \dfrac{1}{(a+1)^{2}} + \dfrac{1}{(b+1)^{2}} \geq \dfrac{1}{(1+ab ) \left ( 1+ \dfrac{a}{b} \right )} + \dfrac{1}{(1+ab) \left ( 1+ \dfrac{b}{a} \right ) } = \dfrac{1}{1+ab} $$

Từ trên ta có : 
$$ \dfrac{a+3}{(a+1)^{2}}  + \dfrac{b+3}{(b+1)^{2}} = \left (  \dfrac{1}{a+1} + \dfrac{1}{b+1} \right ) + 2 \left [  \dfrac{1}{(a+1)^{2}} + \dfrac{1}{(b+1)^{2}} \right ] \geq \dfrac{2}{\sqrt{ab} +1} + \dfrac{2}{ab+1} $$

$$ \geq \dfrac{2}{\dfrac{ab+1}{2} + 1} + \dfrac{2}{ab+1} = \dfrac{4}{ab+3} + \dfrac{2}{ab+1} = \dfrac{4c}{3c+1} + \dfrac{2c}{c+1} $$

Ta chỉ cần chứng minh:  

$$ \dfrac{4c}{3c+1} + \dfrac{2c}{c+1} + \dfrac{c+3}{(c+1)^{2}} \geq 3  \Leftrightarrow \dfrac{c(c-1)^{2}}{(3c+1)(c+1)^{2}} \geq 0 $$

Bất đẳng thức cuối luôn đúng. Hoàn tất chứng minh.

Lời giải 2: 

Ta chứng minh được hai bổ đề sau:

Bổ đề 1: $$\sum \dfrac{1}{a+1} \geq \dfrac{2}{a+b+c+1} + 1$$

Bổ đề 2:$$ \sum \dfrac{1}{(a+1)^{2} }  + \dfrac{1}{a+b+c+1} \geq  1$$

Spoiler

 
Quay lại bài toán: Bất đẳng thức đã cho tương đương với: 
$$  \sum \dfrac{1}{a+1} + 2. \sum \dfrac{1}{(a+1)^{2}} \geq 3 $$
Mà theo bổ đề trên thì:
$$  \sum \dfrac{1}{a+1} + 2. \sum \dfrac{1}{(a+1)^{2}} \geq 2. \sum \dfrac{1}{(a+1)^{2}}   + \dfrac{2}{a+b+c+1}  +1 \geq   2+1=3 $$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$
 
Lời giải 3:
Trước khi vào bài toán ta có bổ đề rất nổi tiếng sau:
Bổ đề: (Võ Quốc Bá Cẩn - Vasile Cirtoaje)
Với $a,b,c$ có tích bằng $1$ ta có:
$$ \sum \dfrac{1}{a^{2} +a+1 }  \geq 1 $$

Spoiler

Quay lại bài toán.
Ta có đánh giá sau:
$$ \dfrac{a+3}{(a+1)^{2} } \geq \dfrac{3}{a^{\dfrac{3}{2}} + a^{\dfrac{3}{4} } +1 }$$
$$ \Leftrightarrow \dfrac{x^{3}.(x-1)^{2}. (x^{5} + 2x^{4} -x^{2} +x+3)}{(x^{4} +1)(x^{6} +x^{3} +1)} \geq 0 $$
Với $x= a^{\dfrac{1}{4}}$ 
Vậy nên: $$\sum \dfrac{a+3}{(a+1)^{2} } \geq \sum \dfrac{3}{a^{\dfrac{3}{2}} + a^{\dfrac{3}{4}} +1} \geq 3$$

Spoiler

 

Các bổ đề trên nếu thắc mắc về việc chứng minh có thể trao đổi với em qua tin nhắn riêng. Mong mọi người đóng góp thêm lời giải. Xin cảm ơn!

 



#2 Kiratran

Kiratran

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 296 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{\text{Phú Thọ}}$
  • Sở thích:Coffee

Đã gửi 26-06-2017 - 19:19

cho t xin link 2 bổ đề ở lời giải 2 được không ? :icon6: cảm ơn bạn



Lời giải 2: 

Ta chứng minh được hai bổ đề sau:

Bổ đề 1: $$\sum \dfrac{1}{a+1} \geq \dfrac{2}{a+b+c+1} + 1$$

Bổ đề 2:$$ \sum \dfrac{1}{(a+1)^{2} }  + \dfrac{1}{a+b+c+1} \geq  1$$

Spoiler


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kiratran: 26-06-2017 - 19:39

Duyên do trời làm vương vấn một đời.


#3 Nguyenphuctang

Nguyenphuctang

    Sĩ quan

  • Banned
  • 499 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:Đang tải

Đã gửi 26-06-2017 - 19:31

cho t xin link 2 bổ đề ở lời giải 2 được không ? :icon6: cảm ơn bạn

Xin đừng trích dẫn cả bài viết nó làm topic dài thêm và gây khó khăn khi theo dõi.

19512061_475294809485496_1576217496_n.pn



#4 AnhTran2911

AnhTran2911

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 230 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên PBC , Vinh, Nghệ An.
  • Sở thích:pp

Đã gửi 26-06-2017 - 19:38

Mình có thêm cách khác:

Đặt $(x;y;z)=(\frac{1-a}{1+a};\frac{1-b}{1+b};\frac{1-c}{1+c})$ thế thì $x,y,z\in(-1,1)$ $(1)$

Giả thiết cho ta $ x+y+z+xyz=0$ Và cần chứng minh $\frac{x+y+z+3}{2}+\sum{\frac{(x+1)^2}{2}}\geq{3}$

Tương đương $ x^2+y^2+z^2+ 3(x+y+z) \geq 0$ Hay $x^2+y^2+z^2\geq{3xyz}$

Điều này đúng vì theo AM-GM thì $ x^2+y^2+z^2 \geq 3 (xyz)^{\dfrac{2}{3}} \geq 3xyz $  $Do (1)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnhTran2911: 26-06-2017 - 19:40

        AQ02

                                 


#5 AnhTran2911

AnhTran2911

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 230 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên PBC , Vinh, Nghệ An.
  • Sở thích:pp

Đã gửi 26-06-2017 - 20:15

Cách ni hơi dài nhưng cũng đóng góp thêm:

Do $abc=1$ Nên ta đặt $(a;b;c)=(\frac{bc}{a^2};\frac{ac}{b^2};\frac{ab}{c^2})$ . Cần CM: $\sum{\frac{3a^4+a^2bc}{(a^2+bc)^2}}\geq3$

Theo CS : $\sum{\frac{3a^4+a^2bc}{(a^2+bc)^2}}\geq \sum {\frac{3a^4+a^2bc}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}}$

=$\dfrac{\sum{(3a^4+a^2bc)(b^2+c^2)}}{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}$

$\geq\frac{\sum{3a^4(b^2+c^2)+6a^2b^2c^2}}{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}$ = 3. $(Q.E.D)$

Spoiler
.

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnhTran2911: 27-06-2017 - 10:51

        AQ02

                                 


#6 Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 26-06-2017 - 23:42

Đề bài: Với 3 số thực dương $a,b,c$ có tích bằng $1$. Chứng minh rằng:

$$ \dfrac{a+3}{(a+1)^{2} }  + \dfrac{b+3}{(b+1)^{2}} + \dfrac{c+3}{(c+1)^{2}} \geq 3 $$

 

Trước đây bài đề này đã từng được thảo luận ở topic: https://diendantoanh...-3/#entry363791

 

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có $$\frac{x}{(x+1)^2}+\frac{y}{(y+1)^2}+\frac{z}{(z+1)^2}\ge 3\sqrt[3]{\frac{xyz}{(x+1)^2(y+1)^2(z+1)^2}}=\frac{3}{\sqrt[3]{(x+1)^2(y+1)^2(z+1)^2}}$$ Mặt khác, theo bất đẳng thức AM-GM, thì $$(x+1)(y+1)(z+1)\ge 8.$$ Nên $$\frac{3}{\sqrt[3]{(x+1)^2(y+1)^2(z+1)^2}} \ge \frac{6}{(x+1)(y+1)(z+1)}.$$ Vậy để chứng minh bất đẳng thức trên, thì ta cần chứng minh được $$\frac{3}{(x+1)^2}+\frac{3}{(y+1)^2}+\frac{3}{(z+1)^2}+\frac{6}{(x+1)(y+1)(z+1)}\ge 3,$$ tương đương với $$\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(y+1)^2}+\frac{1}{(z+1)^2}+\frac{2}{(x+1)(y+1)(z+1)}\ge 1.$$ Là một bất đẳng thức quen thuộc của Phạm Văn Thuận.

 

Ngoài ra

\[\sum \dfrac{a+3}{(a+1)^{2}} - 3 = \frac12\sum \frac{(abc^2+3)(a-b)^2+ab(a+b+2)(c-1)^2}{(a+1)^2(b+1)^2(c+1)^2} \geqslant 0.\]


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#7 Uchiha sisui

Uchiha sisui

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 196 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 27-06-2017 - 14:38

Trước đây bài đề này đã từng được thảo luận ở topic: https://diendantoanh...-3/#entry363791

 

 

Ngoài ra

\[\sum \dfrac{a+3}{(a+1)^{2}} - 3 = \frac12\sum \frac{(abc^2+3)(a-b)^2+ab(a+b+2)(c-1)^2}{(a+1)^2(b+1)^2(c+1)^2} \geqslant 0.\]

Anh Huyện còn link tải phần mềm Maple của anh  không ? Nếu có thì cho em xin link với, em vào blog cũ của anh link hỏng hết rồi!



#8 toanhoc2017

toanhoc2017

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 632 Bài viết

Đã gửi 24-07-2019 - 10:02

Dùng pp dồn biến nữa cũng xong




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh