Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm Min của $P=5(a+b+c)+\frac{3}{abc}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1
minhducndc

minhducndc

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 158 Bài viết

Cho $a^2+b^2+c^2=3$ với a;b;c dương

Tìm Min của $P=5(a+b+c)+\frac{3}{abc}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhducndc: 26-06-2017 - 19:20

Đặng Minh Đức CTBer


#2
Kagome

Kagome

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 166 Bài viết

Cho $a^2+b^2+c^2=3$ với a;b;c dương

Tìm Min của $P=5(a+b+c)+\frac{3}{abc}$

$3=a^2+b^2+c^2\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=>\sqrt[3]{abc}\leq 1$

$P\geq 15\sqrt[3]{abc}+\frac{3}{abc}$

Đặt $x=\sqrt[3]{abc}, 0\leq x\leq 1=>0\leq x^3\leq 1$

$P\geq 15x+\frac{3}{x^3}=3(5x+\frac{1}{x^3}=3(\frac{5}{3}x+ \frac{5}{3}x+\frac{5}{3}x+\frac{5}{3x^3}-\frac{2}{3x^3})\geq 3(\frac{20}{3}-\frac{2}{3})=18$

Dấu = xảy ra $<=> a=b=c=1$

P/S: Giải thế dc ko nhỉ???


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kagome: 26-06-2017 - 20:03


#3
sharker

sharker

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 301 Bài viết

$5(a + b + c) + \frac{3}{{abc}} = 5\sum {a + \sum {\frac{a}{{bc}} \ge \sum {5a + \sum {\frac{{2a}}{{{b^2} + {c^2}}} = \sum {5a}  + \sum {\frac{{2a}}{{3 - {a^2}}}} } } } }$

$GS:\sum {5a}  + \sum {\frac{{2a}}{{3 - {a^2}}}}  \ge \sum {\left( {\frac{7}{2}{a^2} + \frac{5}{2}} \right)}$
 $\Leftrightarrow \sum {\frac{{{{(a - 1)}^2}(7{a^2} - 4a + 15)}}{{2({a^2} - 3)}}}  \ge 0\\$
$ \to P \ge \sum {\frac{7}{2}{a^2} + \frac{5}{2}.3}  = \frac{{7.3}}{2} + \frac{{15}}{2} = 18$

Anh sẽ vẫn bên em dù bất cứ nơi đâu

Anh sẽ là hạt bụi bay theo gió

Anh sẽ là ngôi sao trên bầu trời phương Bắc

Anh không bao giờ dừng lại ở một nơi nào

Anh sẽ là ngọn gió thổi qua các ngọn cây

Em sẽ mãi mãi đợi anh chứ ??

will you wait for me forever


#4
minhducndc

minhducndc

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 158 Bài viết

$3=a^2+b^2+c^2\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=>\sqrt[3]{abc}\leq 1$

$P\geq 15\sqrt[3]{abc}+\frac{3}{abc}$

Đặt $x=\sqrt[3]{abc}, 0\leq x\leq 1=>0\leq x^3\leq 1$

$P\geq 15x+\frac{3}{x^3}=3(5x+\frac{1}{x^3}=3(\frac{5}{3}x+ \frac{5}{3}x+\frac{5}{3}x+\frac{5}{3x^3}-\frac{2}{3x^3})\geq 3(\frac{20}{3}-\frac{2}{3})=18$

Dấu = xảy ra $<=> a=b=c=1$

P/S: Giải thế dc ko nhỉ???

 

$3=a^2+b^2+c^2\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=>\sqrt[3]{abc}\leq 1$

$P\geq 15\sqrt[3]{abc}+\frac{3}{abc}$

Đặt $x=\sqrt[3]{abc}, 0\leq x\leq 1=>0\leq x^3\leq 1$

$P\geq 15x+\frac{3}{x^3}=3(5x+\frac{1}{x^3}=3(\frac{5}{3}x+ \frac{5}{3}x+\frac{5}{3}x+\frac{5}{3x^3}-\frac{2}{3x^3})\geq 3(\frac{20}{3}-\frac{2}{3})=18$

Dấu = xảy ra $<=> a=b=c=1$

P/S: Giải thế dc ko nhỉ???

mình thấy x3$\leq 1\Rightarrow \frac{-2}{x^{3}}\leq -2$ bị ngược dấu mà bạn


Đặng Minh Đức CTBer


#5
minhducndc

minhducndc

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 158 Bài viết

 

$5(a + b + c) + \frac{3}{{abc}} = 5\sum {a + \sum {\frac{a}{{bc}} \ge \sum {5a + \sum {\frac{{2a}}{{{b^2} + {c^2}}} = \sum {5a}  + \sum {\frac{{2a}}{{3 - {a^2}}}} } } } }$

$GS:\sum {5a}  + \sum {\frac{{2a}}{{3 - {a^2}}}}  \ge \sum {\left( {\frac{7}{2}{a^2} + \frac{5}{2}} \right)}$
 $\Leftrightarrow \sum {\frac{{{{(a - 1)}^2}(7{a^2} - 4a + 15)}}{{2({a^2} - 3)}}}  \ge 0\\$
$ \to P \ge \sum {\frac{7}{2}{a^2} + \frac{5}{2}.3}  = \frac{{7.3}}{2} + \frac{{15}}{2} = 18$

 

7a2-4a+15>0;a2-3<0 $\Rightarrow \frac{(a-1)^{2}(7a^{2}-4a+15)}{2(a^{2}-3)}\leq 0$


Đặng Minh Đức CTBer


#6
sharker

sharker

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 301 Bài viết

sr phân trên mình làm vội quá, biến đổi sai

Mình cop lại lời giải của anh Hoàng Tùng cho mn tiện theo dõi.

$5(\sum a)+\frac{3}{abc}\geq 6.\sqrt[6]{\frac{3(\sum a)^{5}}{abc}}$        $(1)$

$3abc (a+b+c)=abc(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})\leq \frac{(ab+bc+ca)^{2}}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})=\frac{1}{3}(ab+bc+ca)(ab+bc+ca)(a^{2}+b^{2}+c^{2})\leq \frac{1}{3}.\frac{(\sum a^{2}+\sum ab+\sum ab)^{3}}{27}=\frac{((\sum a)^{2})^{3}}{81}=\frac{(\sum a)^{6}}{81}< = > abc\leq \frac{(a+b+c)^{5}}{243}$ $(2)$

(1).(2)$= > 5(\sum a)+\frac{3}{abc}\geq 6.\sqrt[6]{\frac{243(a+b+c)^{5}}{(a+b+c)^{5}}}=18$

 

7a2-4a+15>0;a2-3<0 $\Rightarrow \frac{(a-1)^{2}(7a^{2}-4a+15)}{2(a^{2}-3)}\leq 0$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sharker: 26-06-2017 - 21:10

Anh sẽ vẫn bên em dù bất cứ nơi đâu

Anh sẽ là hạt bụi bay theo gió

Anh sẽ là ngôi sao trên bầu trời phương Bắc

Anh không bao giờ dừng lại ở một nơi nào

Anh sẽ là ngọn gió thổi qua các ngọn cây

Em sẽ mãi mãi đợi anh chứ ??

will you wait for me forever


#7
Drago

Drago

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 462 Bài viết

Bài này hình như ví dụ về pp p,q,r ở tài liệu nào đó không nhớ!


$\mathbb{VTL}$


#8
Kagome

Kagome

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 166 Bài viết

mình thấy x3$\leq 1\Rightarrow \frac{-2}{x^{3}}\leq -2$ bị ngược dấu mà bạn

Uh, bị ngược dấu rồi, ko để ý.






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh