Chủ đề này có 2 trả lời

[hiimkn]

Chứng minh rằng với mỗi số nguyên $n$ tồn tại vô hạn cách để viết $n$ dưới dạng

$n=\pm1^2\pm2^2\pm3^2\pm...\pm k^2$

với các số nguyên dương $k$ và các dấu $+$,$-$ được chọn phù hợp.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hiimkn: 27-06-2017 - 17:27

[lamNMP01]

Đại loại là ; ta chứng minh là các số này có thể tạo thành hệ thặng dư mod N ; theo định lý Cauchy Davenport

[manhtuan00]

Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp mạnh  : Giả sử đúng với $n = k$ , ta chứng minh đúng với $n = k+4$

Nhận xét là $0 = 1^2+2^2-3^2+4^2 -5^2-6^2+7^2 , 1 =1^2 , 2 = -1^2-2^2-3^2+4^2 , 3 = -1^2+2^2$ .

Hơn nữa , ta có $ 0 = (k+1)^2 - (k+2)^2-(k+3)^2+(k+4)^2-(k+5)^2+(k+6)^2+(k+7)^2-(k+8)^2$ nên có vô hạn cách biểu diễn

Nếu $n$ biểu diễn được thì $n+4$ cũng biểu diễn được bởi $ 4 = (k+1)^2-(k+2)^2-(k+3)^2+(k+4)^2$ . 

Ta hoàn tất chứng minh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi manhtuan00: 01-07-2017 - 17:50