Chủ đề này có 1 trả lời

[Drago]

Cho $a,b,c>0$ và $ab+bc+ca=1$. Chứng minh:

$\sum _{a,b,c}\frac{a}{b^2+c^2+2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{8}$

[Hoang Dinh Nhat]

Cho $a,b,c>0$ và $ab+bc+ca=1$. Chứng minh:

$\sum _{a,b,c}\frac{a}{b^2+c^2+2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{8}$

Đặt $VT$ là $A$

Vì $ab+bc+ca=1\Rightarrow a+b+c\geq \sqrt{3}$

Theo $C-S$, ta có:$A\geq \frac{(a+b+c)^2}{ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2(a+b+c)}$

Cần chứng minh: $\frac{(a+b+c)^2}{ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2(a+b+c)}\geq \frac{3\sqrt{3}}{8}$

Đặt $a+b+c=p;ab+bc+ca=q;abc=r$

Bất đẳng thức trở thành: $\frac{p^2}{pq-3r+2p}\geq \frac{3\sqrt{3}}{8}$

$\Leftrightarrow 8p^2-3\sqrt{3}pq+9\sqrt{3}r-6\sqrt{6}p\geq 0\Leftrightarrow 8p^2-9\sqrt{3}p+9\sqrt{3}r\geq 0$(Vì $q=1$)

Theo $Schur$, ta có: $r\geq \frac{\sqrt{3}(4-p^2)}{9}$

Cần chứng minh: $8p^2-9\sqrt{3}p+3(4-p^2)\geq 0\Leftrightarrow (4\sqrt{3}-5p)(\sqrt{3}-p)\geq 0$(Đúng vì $p\geq \sqrt{3}$)