Cho $a,b,c>0$ và $ab+bc+ca=1$. Chứng minh:
$\sum _{a,b,c}\frac{a}{b^2+c^2+2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{8}$
Cho $a,b,c>0$ và $ab+bc+ca=1$. Chứng minh:
$\sum _{a,b,c}\frac{a}{b^2+c^2+2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{8}$
$\mathbb{VTL}$
Cho $a,b,c>0$ và $ab+bc+ca=1$. Chứng minh:
$\sum _{a,b,c}\frac{a}{b^2+c^2+2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{8}$
Đặt $VT$ là $A$
Vì $ab+bc+ca=1\Rightarrow a+b+c\geq \sqrt{3}$
Theo $C-S$, ta có:$A\geq \frac{(a+b+c)^2}{ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2(a+b+c)}$
Cần chứng minh: $\frac{(a+b+c)^2}{ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2(a+b+c)}\geq \frac{3\sqrt{3}}{8}$
Đặt $a+b+c=p;ab+bc+ca=q;abc=r$
Bất đẳng thức trở thành: $\frac{p^2}{pq-3r+2p}\geq \frac{3\sqrt{3}}{8}$
$\Leftrightarrow 8p^2-3\sqrt{3}pq+9\sqrt{3}r-6\sqrt{6}p\geq 0\Leftrightarrow 8p^2-9\sqrt{3}p+9\sqrt{3}r\geq 0$(Vì $q=1$)
Theo $Schur$, ta có: $r\geq \frac{\sqrt{3}(4-p^2)}{9}$
Cần chứng minh: $8p^2-9\sqrt{3}p+3(4-p^2)\geq 0\Leftrightarrow (4\sqrt{3}-5p)(\sqrt{3}-p)\geq 0$(Đúng vì $p\geq \sqrt{3}$)
Chấp nhận giới hạn của bản thân, nhưng đừng bao giờ bỏ cuộc
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh