Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum _{a,b,c}\frac{b+c-a}{\sqrt{a^2+3}}\geq \frac{3}{2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
Drago

Drago

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 462 Bài viết

Bài 1: Cho $x,y,z>0$. Chứng minh: $\frac{1}{x+y+z}\left ( \frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y} \right )+\frac{8xyz}{\left ( x+y \right )\left ( y+z \right )\left ( z+x \right )} \ge 2$(Nguyễn Minh Trí)

                                                                                                   

Bài 2: Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của tam giác và $abc \ge 1$. Chứng minh:

$\sum _{a,b,c}\frac{b+c-a}{\sqrt{a^2+3}}\geq \frac{3}{2}$    (Đỗ Hữu Đức Thịnh)                                                                                    

 

Bài 3: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $abc \ge 1$. Chứng minh: $\sum _{a,b,c}\frac{2(b+c)+a}{\sqrt[3]{a^2+4}}\geq \frac{15}{\sqrt[3]{5}}$     (Đỗ Hữu Đức Thịnh)                                                                                                                      


$\mathbb{VTL}$


#2
Hoang Dinh Nhat

Hoang Dinh Nhat

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 402 Bài viết

Bài 1: Cho $x,y,z>0$. Chứng minh: $\frac{1}{x+y+z}\left ( \frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y} \right )+\frac{8xyz}{\left ( x+y \right )\left ( y+z \right )\left ( z+x \right )} \ge 2$(Nguyễn Minh Trí)

                                                                                                   

                                                                                                              

Không mất tính tổng quát chuẩn hóa: $x+y+z=3$

Đặt $VT$ là $P$

Theo $AM-GM$, ta có: $P\geq \frac{27xyz}{(x+y+z)^3}+\frac{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}{xyz(x+y+z)}$

Cần chứng minh $\frac{27xyz}{(x+y+z)^3}+\frac{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}{xyz(x+y+z)}$$\geq 2$

Đặt $x+y+z=p;xy+yz+zx=q;xyz=r$

BĐT trở thành: $r+\frac{q^2-6r}{3r}\geq 2$

Ta có: $r+\frac{q^2-6r}{3r}=\frac{3r^2-6r+q^2}{3r}=\frac{3r(r-2)+q^2}{3r}$

Cần cm: $3r(r-2)+q^2\geq 6r\Leftrightarrow 3r(r-4)+q^2\geq 0$

Theo $Schur$, ta có: $ r\geq \frac{4q-9}{3}$

BĐT trở thành: $\frac{1}{3}(q-3)(19q-63)\geq 0$ (Đúng vì $q\leq 3$)

Dấu "=" xảy ra khi: $x=y=z$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Dinh Nhat: 27-06-2017 - 16:51

Chấp nhận giới hạn của bản thân, nhưng đừng bao giờ bỏ cuộc

 

 

 

 


#3
duylax2412

duylax2412

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 191 Bài viết

Bài 1: (Cách khác)

Bất đẳng thức viết lại:

$\frac{\sum x^2y^2}{xyz(x+y+z)}+\frac{8xyz}{\prod (x+y)} \geq 2$ $(*)$

Chú ý ta có hai đẳng thức sau:

$x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2-xyz(x+y+z)=\frac{1}{2}[x^2(y-z)^2+y^2(z-x)^2+z^2(x-y)^2]$ và:

$(x+y)(y+z)(z+x)-8xyz=x(y-z)^2+y(z-x)^2+z(x-y)^2$.

Vậy: $(*) \Leftrightarrow \frac{\sum x^2(y-z)^2}{2xyz(x+y+z)}-\frac{x(y-z)^2}{\prod (x+y)}$

$\Leftrightarrow S_x(y-z)^2+S_y(z-x)^2+S_z(x-y)^2 \geq 0$

Trong đó:

$S_x=\frac{x}{2yz(x+y+z)}-\frac{x}{\prod (x+y)}>0$

bởi vì nếu chuẩn hóa $x+y+z=1$ thì hiển nhiên đúng.

Tương tự ta có:

$\ S_y=\frac{y}{2zx(x+y+z)}-\frac{y}{\prod (x+y)}>0; S_z=\frac{z}{2xy(x+y+z)}-\frac{z}{\prod{(x+y)}}>0$

Suy ra đpcm

 

 

P/s:xem lại giùm em nhé,dạo này hay sai lắm.


Chỉ có hai điều là vô hạn: vũ trụ và sự ngu xuẩn của con người, và tôi không chắc lắm về điều đầu tiên.

Only two things are infinite, the universe and human stupidity, and I'm not sure about the former.

ALBERT EINSTEIN

 

 


#4
victoranh

victoranh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 102 Bài viết

em vẫn chưa hiểu chuẩn hóa , mong các bác giúp


-----Đừng chọn sống an nhàn trong những năm tháng mà bạn "chịu khổ được"-----


#5
victoranh

victoranh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 102 Bài viết

 

                                                                                                   

Bài 2: Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của tam giác và $abc \ge 1$. Chứng minh:

$\sum _{a,b,c}\frac{b+c-a}{\sqrt{a^2+3}}\geq \frac{3}{2}$    (Đỗ Hữu Đức Thịnh)                                                                                    

 

                                                                                                                     

từ đk suy ra ab+bc+ca>=3, thay vào 3 ở mẫu, sau đó cô-si căn ở mẫu là ra, em k biết gõ latex nên thông cảm ạ


-----Đừng chọn sống an nhàn trong những năm tháng mà bạn "chịu khổ được"-----


#6
victoranh

victoranh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 102 Bài viết

bài 3 cũng tương tự bài 2


-----Đừng chọn sống an nhàn trong những năm tháng mà bạn "chịu khổ được"-----





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh