ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT NĂM HỌC 2017-2018 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN(ĐỀ CHUNG)
Câu 1. (1.5 điểm) Cho biểu thức $A=\frac{x\sqrt{x}-1}{x-\sqrt{x}}-\frac{x\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}+\frac{x+1}{\sqrt{x}}$
a) Rút gọn biểu thức $A$
b) Tìm $x$ để $A=4$
Câu 2. (1.5 điểm) Cho Parabol $(P)$: $y=x^2$ và đường thẳng $(d):y=(2m-1)x-m+2$ ($m$ là tham số)
a) Chứng minh rằng với mọi $m$ đường thẳng $(d)$ luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt.
b) Tìm các giá trị của $m$ để đường thẳng $(d)$ luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A(x_1;y_1)$, $B(x_2;y_2)$ thỏa mãn $x_1y_1+x_2y_2=0$
Câu 3. (2 điểm) Hai thành phố $A$ và $B$ cách nhau $450\,\,km$. Một ô tô đi từ $A$ đến $B$ với vận tốc không đổi trong một thời gian dự định. Khi đi, ô tô tăng vận tốc hơn dự kiến $5\,\,km/h$ nên đã đến $B$ sớm hơn $1\,\,h$ so với thời gian dự định. Tính vận tốc dự kiến ban đầu của ô tô.
Câu 4. (4.0 điểm) Cho đường tròn $(O)$, dây cung $BC$ không phải là đường kính. Các tiếp tuyến của $(O)$ tại $B$, $C$ cắt nhau tại $A$. Lấy điểm $M$ trên cung nhỏ $BC$ ($M$ khác $B$ và $C$), gọi $I$, $H$, $K$ lần lượt là chân đường vuông gocshaj từ $M$ xuống $BC$, $CA$ và $AB$. Chứng minh:
a) Các tứ giác $BKMI$; $CHMI$ nội tiếp.
b) $MI^2=MK.MH$
c) $BM$ cắt $IK$ tại $D$, $CM$ cắt $IH$ tại $E$. Chứng minh $DE//BC$
Câu 5. (1.0 điểm) Cho $a,\,b,\,c \in[0;1]$. Chứng minh rằng: $a+b^2+c^3-ab-bc-ca\le 1$
HƯỚNG DẪN GIẢI:
Câu 1.
a) Rút gọn biểu thức $A$: Điều kiện: $x>0;\,\, x\ne1$
$A=\frac{x\sqrt{x}-1}{x-\sqrt{x}}-\frac{x\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}+\frac{x+1}{\sqrt{x}}=\frac{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}-\frac{(\sqrt{x}+1)(x-\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1}+\frac{x+1}{\sqrt{x}}$
$\,\,\,=\frac{x+\sqrt{x}+1-x+\sqrt{x}-1+x+1}{\sqrt{x}}$
$\,\,\,=\frac{x+2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}$
Vậy: $A=\frac{x+2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}$ với điều kiện trên.
b) Tìm $x$ để $A=4$: Điều kiện: $x>0;\,\, x\ne1$
$A=4 \iff \frac{x+x\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}=4 \Rightarrow x+2\sqrt{x}+1=4\sqrt{x}\Rightarrow x-2\sqrt{x}+1=0$
$\iff (\sqrt{x}-1)^2=0 \iff \sqrt{x}-1=0 \iff \sqrt{x}=1 \iff x=1\,\,(KTMĐK)$
Vậy: không có giá trị nào của $x$ để $A=4$
Câu 2.
a) Chứng minh rằng với mọi $m$ đường thẳng $(d)$ luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt.
Hoạnh độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$ là nghiệm của phương trình:
$x^2=(2m-1)x-m+2 \iff x^2-(2m-1)x+m-2=0\,\,\,(1)$
$\Delta =(1-2m)^2-4.1.(m-2)=4m^2-8m+9=(2m-2)^2+1>0$
Vì $\Delta >0, \forall m \Rightarrow$ phương trình $(1)$ luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $m$ $\Rightarrow$ đường thẳng $(d)$ luôn cắt Parabol $(P)$ tại hai điểm phân biệt với mọi $m$.
b) Tìm các giá trị của $m$ để đường thẳng $(d)$ luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A(x_1;y_1)$, $B(x_2;y_2)$ thỏa mãn $x_1y_1+x_2y_2=0$
Ta có hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$ là nghiệm của pt $(1)$.
$(d)$ luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A(x_1;y_1)$, $B(x_2;y_2)$
Theo hệ thức Vi-ét, ta có: $\left\{\begin{array}{l} x_1+x_2=2m-1\\ x_1.x_2=m-2 \end{array} \right.$
Mà $y=x^2$ nên:
$x_1y_1+x_2y_2=0 \iff x_1.x_1^2+x_2.x_2^2=0 \iff x_1^3+x_2^3=0 \iff (x_1+x_2)(x_1^2-x_1.x_2+x_2^2=0$
$\iff (x_1+x_2)[(x_1+x_2)^2-2x_1.x_2]=0 \iff (2m-1)[(2m-1)^2-2(m-2)]=0$
$\iff (2m-1)(4m^2-6m+5)=0 \iff 2m-1=0 \iff m=\frac{1}{2}$
Vậy: Với $m=\frac{1}{2}$ thỏa mãn yêu cầu đề toán.
Câu 3.
Gọi vận tốc dự kiến ban đầu của ô tô là: $x\,\,(km/h)$ Đk: $x>0$
Vận tốc khi đi của ô tô là: $x+5\,\, (km/h)$
Thời gian ô tô dự định đi từ $A$ đến $B$ là: $\frac{450}{x}\,\, (\text{giờ})$
Thời gian ô tô thực tế đi từ $A$ đến $B$ là: $\frac{450}{x+5}\,\, (\text{giờ})$
Vì khi đi ô tô đến $B$ sớm hơn dự định $1$ giờ nên ta có phương trình:
$\frac{450}{x}-\frac{450}{x+5}=1 \Rightarrow x^2+5x-2250=0 \Rightarrow x=45 \,\, \text{hoặc}\,\, x=-50$
Vậy: Vận tốc dự kiến của ô tô là: $45 \,\, (km/h)$
Câu 4.
a) Chứng minh: Các tứ giác $BKMI$; $CHMI$ nội tiếp.
Ta có: $\widehat{MKB}=90^0$ (vì $MK \bot AB$)
$\widehat{MIB}=90^0$ (vì $MI \bot BC$)
Suy ra: $\widehat{MKB}+\widehat{MIB}=180^0$
Nên tứ giác $BKMI$ nội tiếp (có tổng hai góc đối diện bằng $180^0$)
Ta có: $\widehat{MHC}=90^0$ (vì $MH \bot AC$)
$\widehat{MIC}=90^0$ (vì $MI \bot BC$)
Suy ra: $\widehat{MHC}+\widehat{MIC}=180^0$
Nên tứ giác $CHMI$ nội tiếp (có tổng hai góc đối diện $180^0$)
b) Chứng minh: $MI^2=MK.MH$
Vì tứ giác $MKBI$ nội tiếp nên: $\hat{I_1}=\hat{B_1}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $MK$)
Trong đường tròn $(O)$ có: $\hat{B_1}=\hat{C_1}$ (góc nội tiếp với góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung $MB$)
Vì tứ giác $MHCI$ nội tiếp nên: $\hat{C_1}=\hat{H_1}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $MI$)
Suy ra: $\hat{I_1}=\hat{H_1}$
Tương tự:
$\hat{I_2}=\hat{C_2}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $MH$)
$\hat{C_2}=\hat{B_2}$ (góc nội tiếp với góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung $MC$)
$\hat{B_2}=\hat{K_2}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $MI$)
Suy ra: $\hat{I_2}=\hat{K_2}$
Xét $\Delta MIK$ và $\Delta MHI$, ta có: $\hat{I_1}=\hat{H_1}$ và $\hat{I_2}=\hat{K_2}$ suy ra $\Delta MIK$ đồng dạng với $\Delta MHI$
$\frac{MI}{MH}=\frac{MK}{MI} \Rightarrow MI^2=MH.MK$
c) Chứng minh $DE//BC$
Ta có: $\hat{I_1}=\hat{C_1}$ (vì cùng bằng $\hat{H_1}$); $\hat{I_2}=\hat{B_2}$ (vì cùng bằng $\hat{K_2}$)
Do đó: $\widehat{DIE}+\widehat{DME}=\hat{I_1}+\hat{I_2}+\widehat{DME}=\hat{C_1}+\hat{B_2}+\widehat{DME}=180^0$ (tổng ba góc tam giác)
$\Rightarrow$ tứ giác $MDIE$ nội tiếp (tổng hai góc đối bằng $180^0$)
$\Rightarrow$ $\hat{E_1}=\hat{I_1}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $MD$) mà $\hat{I_1}=\hat{C_1} \Rightarrow \hat{E_1}=\hat{C_1}$
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên $DE$ song song $BC$.
Câu 5.
Vì $a,\,\, b,\,\, c \in [0;1]$ nên $1-a\ge 0;\,\, 1-b\ge 0;\,\, 1-c\ge 0$
Suy ra: $(1-a)(1-b)(1-c) \ge 0 \iff 1-a-b-c+ab+bc+ca-abc \ge 0 \iff a+b+c-ab-bc-ca+abc\le 1$ (1)
Vì $a,\,\, b,\,\, c \in [0;1]$ nên $b^2\le b;\,\, c^3 \le c;\,\, abc\ge 0$.
Suy ra: $a+b^2+c^3-ab-bc-ca \le a+b+c-ab-bc-ca+abc$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra : $a+b^2+c^3-ab-bc-ca \le 1$ (đpcm)
File gửi kèm
-
toán chuyen le quy do binh đinh.pdf 339.69K
137 Số lần tải
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenthanhhung1985: 29-06-2017 - 12:17
