Cho $a,b,c>0$. Chứng minh:
$\sum (1+a^2)^2(1+b^2)^2(a-c)^2(b-c)^2\geq (1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2$
$\sum (1+a^2)^2(1+b^2)^2(a-c)^2(b-c)^2\geq (1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2$
Bắt đầu bởi Hoang Dinh Nhat, 28-06-2017 - 20:56
bất đẳng thức và cực trị
#1
Đã gửi 28-06-2017 - 20:56
Hoang Dinh Nhat
-
- Thành viên
-
- 402 Bài viết
Sĩ quan
#2
Đã gửi 29-06-2017 - 13:27
Duy Thai2002
-
- Thành viên
-
- 433 Bài viết
Sĩ quan
Bổ đề: $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq ab+bc+ca$
Không mất tính tổng quát, giả sử $a\geq b\geq c> 0$
Theo bổ đề, ta có:
$\sum (1+a^{2})(1+b^{2})(a-c)^{2}(b-c)^{2}\geq (1+a^{2})(1+b^{2})(1+c^{2})(a-b)(b-c)(c-a)((1+a^{2})(a-c)+(1+c^{2})(a-b)+(1+a^{2})(b-c))$
Ta cần cm $((1+a^{2})(a-c)+(1+c^{2})(a-b)+(1+a^{2})(b-c))\geq (a-b)(b-c)(a-c)$
<=> $a+a^{2}b-b-cb^{2}+a+ac^{2}-b-bc^{2}+b-a^{2}b-c-a^{2}c\geq a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a-ab^{2}-bc^{2}-ca^{2}$
<=> $2a+2ab^{2}-2c-2b^{2}c\geq 0$
<=> $(a-c)(2b^{2}+2)\geq 0$ (luôn đúng theo gt)
=> Bđt được cm. Dấu bằng xảy ra <=> a=b=c>0
- yeutoan2001 và doraemon123 thích
Sự khác biệt giữa thiên tài và kẻ ngu dốt là ở chỗ thiên tài luôn có giới hạn.
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức và cực trị
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
