Cho 3 số không âm x ; y; z thỏa mãn x + y + z = 3
Chứng minh: $x^{3} + y^{3} + z^{3} +xyz \geq 4$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienduc: 29-06-2017 - 07:58
Cho 3 số không âm x ; y; z thỏa mãn x + y + z = 3
Chứng minh: $x^{3} + y^{3} + z^{3} +xyz \geq 4$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienduc: 29-06-2017 - 07:58
Cho 3 số không âm x ; y; z thỏa mãn x + y + z = 3
Chứng minh: $x^{3} + y^{3} + z^{3} +xyz \geq 4$
Ta có
\[a^3+b^3+c^3 + abc \geqslant a^2+b^2+c^2 +abc \geqslant 4.\]
Cho 3 số không âm x ; y; z thỏa mãn x + y + z = 3
Chứng minh: $x^{3} + y^{3} + z^{3} +xyz \geq 4$
Đặt $(x+y+z;xy+yz+zx;xyz)=(p;q;r)$. Khi đó ta có: $p=3\implies q\le 3$.
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: $p^3-3pq+4r\ge 4$.
Thật vậy: Theo BDT Schur ta có: $p^3+9r\ge 4pq\implies r\ge \frac{4q-9}{3}$.
$\implies p^3-3pq+4r\ge p^3-3pq+\frac{4}{3}(4q-9)=27-9q+\frac{4}{3}(4q-9)=15-\frac{11}{3}q\ge 4$
$\implies Q.E.D$
Ta có
\[a^3+b^3+c^3 + abc \geqslant a^2+b^2+c^2 +abc \geqslant 4.\]
Cái chỗ lập phương đưa về bình phương bạn giải thích kĩ hơn được không ạ?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KhanhTurbo12: 29-06-2017 - 15:17
Cái chỗ lập phương đưa về bình phương bạn giải thích kĩ hơn được không ạ?
Do $a+b+c=3$ nên $a^3+b^3+c^3 \geqslant a^2+b^2+c^2$ cái này dùng AM-GM hoặc Cauchy-Schwarz.
Do $a+b+c=3$ nên $a^3+b^3+c^3 \geqslant a^2+b^2+c^2$ cái này dùng AM-GM hoặc Cauchy-Schwarz.
Từ cái chỗ đó về sau bác giải thích với. Làm tắt quá em cũng khó hiểu.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KhanhTurbo12: 29-06-2017 - 22:21
Từ cái chỗ đó về sau bác giải thích với. Làm tắt quá em cũng khó hiểu.
Chứng minh $a^2+b^2+c^2+abc \geqslant 4$ thì dùng Schur hoặc Dirichlet. Bạn tìm trong bài viết “Về một bài toán bất đẳng thức” của mình trên diễn đàn có bài này.
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh