Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $x^3 + y^3 + z^3 + xyz \geq 4$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
KhanhTurbo12

KhanhTurbo12

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 40 Bài viết

Cho 3 số không âm x ; y; z thỏa mãn x + y + z = 3

Chứng minh: $x^{3} + y^{3} + z^{3} +xyz \geq 4$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienduc: 29-06-2017 - 07:58


#2
Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết

Cho 3 số không âm x ; y; z thỏa mãn x + y + z = 3

Chứng minh: $x^{3} + y^{3} + z^{3} +xyz \geq 4$

 

Ta có

\[a^3+b^3+c^3 + abc \geqslant a^2+b^2+c^2 +abc \geqslant 4.\]


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#3
tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1644 Bài viết

Cho 3 số không âm x ; y; z thỏa mãn x + y + z = 3

Chứng minh: $x^{3} + y^{3} + z^{3} +xyz \geq 4$

Đặt $(x+y+z;xy+yz+zx;xyz)=(p;q;r)$. Khi đó ta có: $p=3\implies q\le 3$.

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: $p^3-3pq+4r\ge 4$.

Thật vậy: Theo BDT Schur ta có: $p^3+9r\ge 4pq\implies r\ge \frac{4q-9}{3}$.

$\implies p^3-3pq+4r\ge p^3-3pq+\frac{4}{3}(4q-9)=27-9q+\frac{4}{3}(4q-9)=15-\frac{11}{3}q\ge 4$

$\implies Q.E.D$



#4
KhanhTurbo12

KhanhTurbo12

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 40 Bài viết

Ta có

\[a^3+b^3+c^3 + abc \geqslant a^2+b^2+c^2 +abc \geqslant 4.\]

Cái chỗ lập phương đưa về bình phương bạn giải thích kĩ hơn được không ạ?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KhanhTurbo12: 29-06-2017 - 15:17


#5
Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết

Cái chỗ lập phương đưa về bình phương bạn giải thích kĩ hơn được không ạ?

 

Do $a+b+c=3$ nên $a^3+b^3+c^3 \geqslant a^2+b^2+c^2$ cái này dùng AM-GM hoặc Cauchy-Schwarz.


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#6
KhanhTurbo12

KhanhTurbo12

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 40 Bài viết

Do $a+b+c=3$ nên $a^3+b^3+c^3 \geqslant a^2+b^2+c^2$ cái này dùng AM-GM hoặc Cauchy-Schwarz.

Từ cái chỗ đó về sau bác giải thích với. Làm tắt quá em cũng khó hiểu.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KhanhTurbo12: 29-06-2017 - 22:21


#7
Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết

Từ cái chỗ đó về sau bác giải thích với. Làm tắt quá em cũng khó hiểu.

 

Chứng minh $a^2+b^2+c^2+abc \geqslant 4$ thì dùng Schur hoặc Dirichlet. Bạn tìm trong bài viết  “Về một bài toán bất đẳng thức” của mình trên diễn đàn có bài này.


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh