PHÂN LOẠI HÌNH TRÒN XOAY TRONG KHÔNG GIAN
Chuyên đề này mình viết tổng hợp lại các công thức và các dạng toán cơ bản. Hiện nay, các bạn học sinh chúng ta ít quan tâm và ít nhớ các công thức của pần này. Từ năm 2017, Bộ giáo dục đã thay đổi hình thức thi trắc nghiệm nên mỗi đại lượng kiến thức đều quan trọng nên chúng ta cần nắm kỹ các kiến thức này để giúp các em thi tốt. Chuyên đề này mình sẽ tiếp tục bổ sung trong các thời gian sắp đến.....
I. Hình Nón.
1. Kiến thức cơ bản:
$\bullet$ Hình nón tròn xoay (gọi tắt hình nón) là hình sinh ra do một tam giác vuông quay quanh một cạnh góc vuông của nó.
$\bullet$ Hình vẽ và các chi tiết:
$(O,\,R)$: Hình tròn xoay
$SM=l$: Đường sinh
$SO$: Trục hình nón
$h=SO$: Đường cao
$S$: Đỉnh
$\bullet$ Công thức:
Diện tích xung quanh: $S_{xq}=\pi R l$
Diện tích toàn phần: $S_{tp}=\pi R l+\pi R^2$
Thể tích khối nón: $V_{N}=\frac{1}{3}\pi R^2 h$
2. Bài tập vận dụng:
Bài 1. Cho hình nón có bán kính đáy $R=\sqrt{3}$ và chiều cao $h=4$. Tính
a) Diện tích xung quanh của hình nón.
b) Diện tích toàn phần của hình nón.
c) Thể tích của khối nón.
Bài giải:
$l=\sqrt{R^2+h^2}=\sqrt{3+16}=\sqrt{19}$
a) Diện tích xung quanh của hình nón.
$S_{xq}=\pi R l=\pi \sqrt{3}\sqrt{19}=\pi \sqrt{57}$
b) Diện tích toàn phần của hình nón.
$S_{tp}=\pi R l+\pi R^2=\pi \sqrt{3}\sqrt{19}+\pi (\sqrt{3})^2=(3+\sqrt{57})a$
c) Thể tích của khối nón.
$V_{N}=\frac{1}{3}\pi R^2 h=\frac{1}{3}\pi (\sqrt{3})^2 4=4\pi$
Bài 2. Trong không gian cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AB=a$ và $\widehat{ACB}=30^0$. Hình nón (N) tạo thành khi quay tam giác $ABC$ quanh cạnh. Tính
a) Diện tích xung quanh của hình nón.
b) Diện tích toàn phần của hình nón.
c) Thể tích của khối nón.
Bài giải:
Bán kính đường tròn đáy: $R=a$
Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ ta có:
$\tan(30^0)=\frac{AB}{AC} \iff h=AC=\frac{AB}{\tan(30^0)}=a\sqrt{3}$
$l=BC=\sqrt{AC^2+AB^2}=2a$
a) Diện tích xung quanh của hình nón.
$S_{xq}=\pi R l=\pi a 2a=2a^2 \pi$
b) Diện tích toàn phần của hình nón.
$S_{tp}=\pi R l+\pi R^2=\pi a 2a+\pi a^2=3a^2\pi$
c) Thể tích của khối nón.
$V_{N}=\frac{1}{3}\pi R^2 h=\frac{1}{3}\pi a^2 2a=\frac{2}{3}a^{3}\pi$
Bài 3. Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có các cạnh đều bằng $a\sqrt{2}$. Hình nón $(N)$ ngoại tiếp tứ giác đều $S.ABCD$ là hình nón có đỉnh là đỉnh $S$ của hình chóp đều $S.ABCD$ , đáy là đường tròn ngoại tiếp tứ giác $ABCD$. Tính
a) Diện tích xung quanh của hình nón.
b) Diện tích toàn phần của hình nón.
c) Thể tích của khối nón.
Bài giải:
Gọi $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$.
Bán kính đường tròn đáy nón: $R=OA=\frac{AC}{2}=\frac{\sqrt{AB^2+BC^2}}{2}=a$
Đường cao của nón: $h=SO=\sqrt{SA^2-OA^2}=a$
Độ dài đường sinh của nón: $l=SA=2a$
a) Diện tích xung quanh của hình nón.
$S_{xq}=\pi R l=\pi a 2a=2a^2 \pi$
b) Diện tích toàn phần của hình nón.
$S_{tp}=\pi R l+\pi R^2=\pi a 2a+\pi a^2=3a^2 \pi$
c) Thể tích của khối nón.
$V_{N}=\frac{1}{3}\pi R^2 h=\frac{1}{3}\pi a^2 a=\frac{1}{3}a^3 \pi$
II. Hình Trụ.
1. Kiến thức cơ bản:
$\bullet$ Hình trụ tròn xoay (gọi tắt hình trụ) là hình sinh ra do một hình chữ nhật quay quanh một cạnh của nó.
$\bullet$ Hình vẽ và các chi tiết:
$(O,\,R)$: Hình tròn đáy
$OO’$: Trục hình trụ
$MM’$: Đường sinh
$h$: Chiều cao
$\bullet$ Công thức:
Diện tích xung quanh: $S_{xq}=2 \pi R h$
Diện tích toàn phần: $S_{tp}=2 \pi R h+2 \pi R^2$
Thể tích khối nón: $V_{T}=\pi R^2 h$
2. Bài tập vận dụng:
Bài 1. Cho hình trụ có bán kính đáy $R=4$ và chiều cao $h=4\sqrt{2}$. Tính
a) Diện tích xung quanh của hình trụ.
b) Diện tích toàn phần của hình trụ.
c) Thể tích của khối trụ.
Bài giải:
a) Diện tích xung quanh của hình trụ: $S_{xq}=2 \pi Rh=2.\pi.4.4\sqrt{2}=32\sqrt{2}\pi$
b) Diện tích toàn phần của hình trụ : $S_{tp}=2 \pi R h+2 \pi R^2=2 \pi.4.4\sqrt{2}+2.\pi.4^2=32(\sqrt{2}+1)\pi$
c) Thể tích của khối trụ: $V_{T}=\pi R^2 h=\pi.4^2.4\sqrt{2}=64\sqrt{2}\pi$
Bài 2. Cắt một khối trụ $(T)$ bằng một mặt phẳng đi qua trục của nó, ta được một hình vuông có diện tích bằng $9$. Tính
a) Diện tích xung quanh của hình trụ.
b) Diện tích toàn phần của hình trụ.
c) Thể tích của khối trụ.
Bài giải:
Gọi $x$ là độ dài của hình vuông khi cắt trụ $(T)$.
Khi đó: $x^2=9 \iff x=3$
Chiều cao của hình trụ: $h=l=3$
Bán kính của đáy hình trụ: $R=\frac{3}{2}$
a) Diện tích xung quanh của hình trụ.
$S_{xq}=2 \pi R h=2.\pi.\frac{3}{2}=3\pi$
b) Diện tích toàn phần của hình trụ.
$S_{tp}=2 \pi R h+2 \pi R^2=2.\pi.\frac{3}{2}+2.\pi.(\frac{3}{2})^2=\frac{15\pi}{2}$
c) Thể tích của khối trụ.
$V_{T}=\pi R^2 h=\pi.(\frac{3}{2})^2.3=\frac{27\pi}{4}$
Bài 3. Cho hình chữ nhật $ABCD.A’B’C’D’$ có $AD=8$, $CD=6$, $AC’=12$. Hình trụ $(T)$ có hai đường tròn đáy là hai đường tròn ngoại tiếp hai hình chữ nhật $ABCD$ và $A’B’C’D’$. Tính
a) Diện tích xung quanh của hìn trụ.
b) Diện tích toàn phần của hình trụ.
c) Thể tích của khối trụ.
Bài giải:
III. Hình Cầu.
1. Kiến thức cơ bản:
$\bullet$ Nửa đường tròn (hoặc cả đường tròn) quay quanh một đường kính của nó sinh ra một mặt cầu cùng tâm và cùng bán kính.
$\bullet$ Hình vẽ và các chi tiết:
$R$: Bán kính mặt cầu
$h$: Chiều cao chỏm cầu
$\bullet$ Công thức chung:
Diện tích của mặt cầu: $S=4 \pi R^2$
Thể tích khối cầu: $V_{N}=\frac{4}{3} \pi R^3$
Diện tích của chỏm cầu: $S=2 \pi R h$
Thể tích khối chỏm cầu: $V=\pi h^2 (R-\frac{h}{3})$
2. Bài tập vận dụng:
Bài 1. Cho mặt cầu $(S)$ có bán kính $R=a$. Tính
a) Diện tích mặt cầu.
b) Tính thể tích khối cầu đó.
Bài giải:
a) Diện tích mặt cầu
$S=4 \pi R^2=4.\pi.a^2=4a^2\pi$
b) Tính thể tích khối cầu đó.
$V_{N}=\frac{4}{3} \pi R^3=\frac{4}{3}.\pi.a^3=\frac{4}{3}a^3 \pi$
Bài 2. Cho tứ diện $ABCD$ có tam giác $BCD$ vuông tại $C$, $AB$ vuông góc với $mp(BCD)$, $AB=5a$, $BC=3a$ và $CD=4a$. Tính
a) Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
b) Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện.
Bài giải:
Bài 3.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenthanhhung1985: 01-07-2017 - 10:18
