Chủ đề này có 174 trả lời

[MoMo123]

Bài 1

a)

ta có$a^{2}+b^{2}+c^{2}+3\geq 2(a+b+c)=6$

$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 3$

b)

ta có

$a^{2016}+b^{2016}+c^{2016}+3.2015\geq 2016.(a+b+c)=2016.3$

$\Rightarrow VT\geq 3$

Bài 2

Ta có

$\frac{a}{b}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^{2}}{bc}}=3a$

tương tự rồi cộng vế suy ra đpcm

Mong bạn không tiếp tục tái phạm quy định của TOPIC, các anh chị lớp trên không được giải bài của lớp 9 , chỉ nên đăng bài , mình chắc chắn bạn đã đọc qua nó rồi , bạn chỉ nên đăng bài thôi, đọc lại yêu cầu của TOPIC nha

[MoMo123]

$\boxed{\textrm{Chuyên Đề 2}}$   $\boxed{\textrm{BĐT Cô Si}}$

$\boxed{\textrm{Bài 1}}$ Cho $\left\{\begin{matrix}a,b,c>0 & & \\ a+b+c=3 & & \end{matrix}\right.$

a) Tìm min $a^{2}+b^{2}+c^{2}$

b) Tìm min $a^{2016}+b^{2016}+c^{2016}$

$\boxed{\textrm{Bài 2}}$ Cho $\left\{\begin{matrix}a,b,c>0 & & \\ abc=1 & & \end{matrix}\right.$

CMR $\sum \frac{a}{b}\geq \sum a$

$\boxed{\textrm{Bài 3}}$ Cho a,b,c>0

Tìm Min $\frac{(a+b+c)^{6}}{ab^{2}c^{3}}$

Mọi người có vẻ không hăng hái giải lắm nhỉ 

$a+\frac{b}{2}+\frac{b}{2}+\frac{c}{3}+\frac{c}{3}+\frac{c}{3}\geq 6\sqrt[6]{a.\frac{b^{2}}{4}.\frac{c^{3}}{27}}$

$\rightarrow \frac{(a+b+c)^{6}}{6^{6}}\geq \frac{1}{108}.ab^{2}c^{3}$

$\rightarrow \frac{(a+b+c)^{6}}{ab^{2}c^{3}}\geq \frac{6^{6}}{108}$

[duylax2412]

Góp cho topic hai bài phù hợp chuyên đề này :

Bài 4: Cho $a,b>0$.Chứng minh :$\frac{a^2}{b^2} +b^4 +\frac{1}{a} \geq a +2b$

Bài 5:Cho $a,b,c>0$ thỏa $a+2b+3c \geq 20$.Tìm $Min$: $a+b+c+\frac{3}{a}+\frac{9}{2b}+\frac{4}{c}$

[MoMo123]

Góp cho topic hai bài phù hợp chuyên đề này :

Bài 4: Cho $a,b>0$.Chứng minh :$\frac{a^2}{b^2} +b^4 +\frac{1}{a} \geq a +2b$

Bài 5:Cho $a,b,c>0$ thỏa $a+2b+3c \geq 20$.Tìm $Min$: $a+b+c+\frac{3}{a}+\frac{9}{2b}+\frac{4}{c}$

$\boxed{\textrm{Bài 4}}$ 

Áp dụng bđt Cauchy , ta có $\frac{a^{2}}{b^{2}}+b^{2}\geq 2a$

$b^{4}+1\geq 2b^{2}$

$\frac{1}{a}+a\geq 2$

-> $VT\geq a+b^{2}+1\geq a+2b$(đpcm)

$\boxed{\textrm{Bài 5}}$

Ta có 

VT=$\frac{3a}{4}+\frac{b}{2}+\frac{c}{4}+\frac{3}{a}+\frac{9}{2b}+\frac{a}{4}+\frac{2b}{4}+\frac{3c}{4}$

$=(\frac{3a}{4}+\frac{3}{a})+(\frac{b}{2}+\frac{9}{2b})+(\frac{c}{4}+\frac{4}{c})+\frac{a+2b+3c}{4}\geq 3+3+2+5=13$

Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a=2 & & & \\ b=3 & & & \\ c=4 & & & \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 22-08-2017 - 12:38

[Minhnksc]

Một bài ở mức higher level nhỉ

Bài toán 6:(VMO) Cho các số thực dương $x_{1}; x_{2};...:x_{n}$ thỏa mãn: $\sum^{n}_{i=1} \frac{1}{1+x_{i}}=1$

Hãy chứng minh rằng:

$\prod^{n}_{i=1}x_{i}\geq (n-1)^n$ 

[cristianoronaldo]

$\boxed{\text{Bài 7}}$:

Cho x,y,z là các số thực không âm thỏa mãn $y\geq x> z> 0$.

Tìm GTNN của biểu thức:

$\sqrt{xy}+\frac{z(x-y)}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{z(x-z)}$

$\boxed{\text{Bài 8}}$(cristianoronaldo)

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn $xy+yz+zx=3$.

Tìm GTNN của biểu thức:

$P=\left ( 2-xyz \right )\left ( \frac{1}{x\sqrt{y^2+z^2}}+\frac{1}{y\sqrt{z^2+x^2}}+\frac{1}{z\sqrt{x^2+y^2}} \right )$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cristianoronaldo: 22-08-2017 - 17:13

[cristianoronaldo]

Một bài ở mức higher level nhỉ

Bài toán 6:(VMO) Cho các số thực dương $x_{1}; x_{2};...:x_{n}$ thỏa mãn: $\sum^{n}_{i=1} \frac{1}{1+x_{i}}=1$

Hãy chứng minh rằng:

$\prod^{n}_{i=1}x_{i}\geq (n-1)^n$ 

Theo bài ra ta có:

$\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{1+x_{i}}=1\Leftrightarrow \sum _{i=1}^{n-1}\frac{1}{1+x_{i}}=\frac{x_{n}}{1+x_{n}}$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

$\frac{x_{n}}{1+x_{n}}=\sum _{i=1}^{n-1}\frac{1}{1+x_{i}}\geq \frac{n-1}{\sqrt[n-1]{\prod _{i=1}^{n-1}(1+x_{i})}}$

Tương tự $n-1$ bất đẳng thức còn lại, nhân vế ta được Q.E.D

[Minhnksc]

Anh nghĩ chuyên đề này nên đi sâu vào nhiều kĩ thuật sử dụng và các dạng bđt Cauchy khó hơn; lạ hơn và đa dạng hơn vì những kỹ thuật cơ bản thì đã được đề cập nhiều trong các sách vở; trên các buổi học đội tuyển và trong các topic ôn thi học sinh giỏi lớp 9 các năm trước. Sau đây là một số bài toán (cũng chưa khó lắm) về bđt Cauchy mà a sưu tầm được:

Bài toán 9; (Tuyển sinh vào chuyên toán LHP Nam định 2017-2018)

Xét các số thực $a,b,c$ không âm, khác 1 và thỏa mãn $a+b+c=1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\frac{1}{a+bc}+\frac{1}{b+ac}+(a+b)(4+5c)$

Bài toán 10: (BĐT Holder) Cho các số thực dương $a;b;c;x;y;z;m;n;p$. Chứng minh rằng: $(a+b+c)(x+y+z)(m+n+p)\geq (\sqrt[3]{axm}+\sqrt[3]{byn}+\sqrt[3]{czp})^3$

Ngoài lề (nói thêm về BĐT Holder) : Dạng tổng quát của BĐT Holder; cho m bộ số thực dương $(a_{1,1};a_{2,1};...;a_{n;1}); (a_{1,2};a_{2,2};...a_{n,2});...;(a_{1,m};a_{2,m};...;a_{n,m})$ thì ta có

$\prod^{m}_{i=1}(\sum^{n}_{j=1}a_{i,j})\geq \left(\sum^{n}_{j=1}\sqrt[m]{\prod^{m}_{i=1}a_{i,j}} \right)^m (*)$

Hệ quả quen thuộc của BĐT Holder chính là BĐT Cauchy-Schwarz (hay còn được gọi với cái tên là Bunyacoxki):

$(a_{1}^2+a_{2}^2+...+a_{n}^2)(b_{1}^2+b_{2}^2+...b_{n}^2)\geq (a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n})^2$

và hệ quả quen thuộc thứ hai chính là bài toán số 10 ; khi này $m=n=3$.

Một hệ quả nữa cũng hay dùng dối với BĐT Holder

$\prod^{m}_{i=1}(1+x_{i})\geq (1+\sqrt[m]{\prod^{m}_{i=1}x_{i}})^m$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnksc: 23-08-2017 - 11:18

[slenderman123]

Nhớ ngày này năm xưa, ôn tập vất vả để thi HSG thành phố để học chung với Crush, ngày mà mình còn bỡ ngỡ, xao xuyến, rung động lần đầu mà đẹp trai như mình thì ...

Lạc đề rồi, trở lại bài BĐT : 

$\frac{1}{a+bc}+\frac{1}{b+ac}+(1-c)(4+5c)\geq \frac{4}{1-c+c(1-c)}+(1-c)(4+5c)$ (Bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$)$\Leftrightarrow \frac{4}{(1-c)(1+c)}+(1-c)(4+5c)\geq 2\sqrt{\frac{4}{1+c}(4+5c)}=2\sqrt{4.\frac{4+5c}{1+c}}=4\sqrt{4+\frac{c}{1+c}}\geq 4\sqrt{4}=8$

Trong các đề thi chuyên, PP này cũng khá mới lạ nhỉ không biết chọn điểm rơi đã đúng chưa

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi slenderman123: 22-08-2017 - 19:10

[minhducndc]

mình xin góp vài bài

Bài 11 :Cho a;b;c là các số thực dương . Tìm Min của

$P=\frac{3(b+c)}{2a}+\frac{4a+3c}{3b}+\frac{12(b-c)}{2a+3c}$

Bài 12 : Cho a;b;c là các số thực dương thỏa mãn abc=1.Chứng minh rằng

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3(\frac{b}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{b})\geq 2(a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhducndc: 22-08-2017 - 20:56

[minhhuy14022003]

cho mik đóng góp hai bài này:

Bài 13 : Cho a,b,c >0.CMR $\sum \frac{a}{b+\sqrt[3]{ab^2}}$ $\geq \frac{3}{2}$

Bài 14:  Cho a,b,c >0 thỏa mãn abc=1.CMR $\sum \frac{1}{\sqrt{a^{3}+1}}\geq 1$

  Năm nay lớp 9 thi HSG rồi lo quá! Bạn nào như mình cho mình kb để cùng ôn luyện

[slenderman123]

1,Chọn $\sqrt[3]{a}=x,\sqrt[3]{b}=y,\sqrt[3]{c}=z$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương xứng: $\sum \frac{x^{3}}{y^{3}+xy^{2}}=\sum \frac{x^{4}}{xy^{3}+x^{2}y^{2}}\geq \frac{(\sum x^{2})^{2}}{\sum xy^{3}+\sum x^{2}y^{2}}\geq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \sum x^{4}+2(\sum x^{2}y^{2})\geq \frac{3}{2}\sum x^{2}y^{2}+\frac{3}{2}\sum xy^{3}\Leftrightarrow \sum x^{4}+\frac{1}{2}\sum x^{2}y^{2}\geq \frac{3}{2}\sum xy^{3}$ đến đây bạn $Cauchy$ theo nhóm 3 số thì dễ rồi nè ^^

 2, Sai đề bạn, sửa cái nào ^^

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi slenderman123: 24-08-2017 - 10:52

[slenderman123]

mình xin góp vài bài

Bài 11 :Cho a;b;c là các số thực dương . Tìm Min của

$P=\frac{3(b+c)}{2a}+\frac{4a+3c}{3b}+\frac{12(b-c)}{2a+3c}$

Bài 12 : Cho a;b;c là các số thực dương thỏa mãn abc=1.Chứng minh rằng

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3(\frac{b}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{b})\geq 2(a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

 

Câu 1: Nhìn vào thấy Sida nhưng tinh mắt chút ta thấy: $\frac{3(b+c)}{2a}+\frac{4a+3c}{3b}+\frac{12(b-c)}{2a+3b}=\frac{4a+3b+3c}{2a}-2+\frac{4a+3b+3c}{3b}-1+\frac{16a+12b+12c}{2a+3c}-8=4(4a+3b+3c)(\frac{1}{2a}+\frac{1}{3b}+\frac{1}{2a+3c})-11\geq 25$

Mấy em cũng đừng áp lực vì cuộc thi này ^^

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi slenderman123: 24-08-2017 - 11:10

[MoMo123]

Câu 1: Nhìn vào thấy Sida nhưng tinh mắt chút ta thấy: $\frac{3(b+c)}{2a}+\frac{4a+3c}{3b}+\frac{12(b-c)}{2a+3b}=\frac{4a+3b+3c}{2a}-2+\frac{4a+3b+3c}{3b}-1+\frac{16a+12b+12c}{2a+3c}-8=4(4a+3b+3c)(\frac{1}{2a}+\frac{1}{3b}+\frac{1}{2a+3c})-11\geq 25$

Mấy em cũng đừng áp lực vì cuộc thi này ^^

Em mong rằng slenderman sẽ có thể đóng góp cho TOPIC bằng cách đưa ra các cách hay hơn sau khi đã được chúng em giải hoặc mở rộng bài toán , em cảm ơn anh rất nhiều khi ủng hộ TOPIC ạ

P/s: Lúc trước là anh họ em ghi bài viết này , anh ấy có nói gì không phù hợp thì mong mọi người bỏ qua , anh sẽ sửa chữa lỗi sai này ạ , mong mọi người thông cảm cho em , em đã cấm anh ấy vào nick em phá lung tung rồi ạ , thành thật xin lỗi mọi người , nếu có gì không phải , mong anh slenderman bỏ qua cho em , em cảm ơn anh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 25-08-2017 - 20:13

[ngonluahoangkim]

Vào lúc 02 Tháng 7 2017 - 11:03, MoMo123 đã nói:

Cảm ơn các bạn đã ủng hộ TOPIC nhiệt tình , sau đây là các bài tiếp theo

22)

 Tìm các số nguyên dương x,y,zx,y,z thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện sau x−y√2017y−z√2017x−y2017y−z2017 là số hữu tỉ và x2+y2+z2x2+y2+z2 là số nguyên tố

23) GPT  x2=√x2−x+√x3−x2x2=x2−x+x3−x2

24) Tìm MAX của M = (√a+√b)4+(√a+√c)4+(√a+√d)4+(√b+√c)4+(√c+√d)4(a+b)4+(a+c)4+(a+d)4+(b+c)4+(c+d)4

với a,b,c,d là các số dương và a+b+c+d≤1

tớ xin xơi bài 22 :  

         theo đầu bài ta có:   $\frac{x-y\sqrt{2017}}{y-z\sqrt{2017}}$=$\frac{a}{b}$  (a;b$\in \mathbb{Z} ;b khác 0)

      nhân chéo rút gọn ta được :

           bx-ay-(by-az)$\sqrt{2017}$=0

       vì (bx-ay) và (by-az) là các số nguyên nên suy ra :

   $\left\{\begin{matrix} bx-ay=0& & \\ by-az=0 & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \frac{x}{y}=\frac{a}{b};\frac{y}{z}=\frac{a}{b} \Rightarrow \frac{x}{y}=\frac{y}{z}$

$\Rightarrow$ y²=xz 

bài toán chở thành tìm các số nguyên dương để x^2+xz+y^2 là số nguyên tố 

thông cảm đến đây tự giải quyết nốt nhé tớ đang bận

[MoMo123]

 

Vào lúc 02 Tháng 7 2017 - 11:03, MoMo123 đã nói:

tớ xin xơi bài 22 :  

         theo đầu bài ta có:   $\frac{x-y\sqrt{2017}}{y-z\sqrt{2017}}$=$\frac{a}{b}$  (a;b$\in \mathbb{Z} ;b khác 0)

      nhân chéo rút gọn ta được :

           bx-ay-(by-az)$\sqrt{2017}$=0

       vì (bx-ay) và (by-az) là các số nguyên nên suy ra :

   $\left\{\begin{matrix} bx-ay=0& & \\ by-az=0 & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \frac{x}{y}=\frac{a}{b};\frac{y}{z}=\frac{a}{b} \Rightarrow \frac{x}{y}=\frac{y}{z}$

$\Rightarrow$ y²=xz 

bài toán chở thành tìm các số nguyên dương để x^2+xz+y^2 là số nguyên tố 

thông cảm đến đây tự giải quyết nốt nhé tớ đang bận

 

mong bạn không giải bài cũ của TOPIC nữa, đây là TOPIC ôn thi , không phải để nhờ giải bài tập

[Anh Minh 123]

MoMo123 bạn có thể cho những bài về cực trị không mình mới học 2 bài toán đầu tiên của lớp 9 và mới ôn đc 1 buổi

[minhhuy14022003]

1,Chọn $\sqrt[3]{a}=x,\sqrt[3]{b}=y,\sqrt[3]{c}=z$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương xứng: $\sum \frac{x^{3}}{y^{3}+xy^{2}}=\sum \frac{x^{4}}{xy^{3}+x^{2}y^{2}}\geq \frac{(\sum x^{2})^{2}}{\sum xy^{3}+\sum x^{2}y^{2}}\geq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \sum x^{4}+2(\sum x^{2}y^{2})\geq \frac{3}{2}\sum x^{2}y^{2}+\frac{3}{2}\sum xy^{3}\Leftrightarrow \sum x^{4}+\frac{1}{2}\sum x^{2}y^{2}\geq \frac{3}{2}\sum xy^{3}$ đến đây bạn $Cauchy$ theo nhóm 3 số thì dễ rồi nè ^^

 2, Sai đề bạn, sửa cái nào ^^

đúng đề mak bạn!

mik kiểm tra lại rồi.

[Minhnksc]

Bài toán 15: Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương thỏa $a+b+c\geq abc$. Chứng minh rằng ít nhất 2 trong 3 bất đảng thức sau đúng:

$\frac{2}{a}+\frac{3}{b}+\frac{6}{c}\geq 6;\frac{6}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}\geq 6;\frac{3}{a}+\frac{6}{b}+\frac{2}{c}\geq 6$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnksc: 13-09-2017 - 12:42

[perfectstrong]

Bài toán 15: Cho các số thực dương $x;y\in (0;1)$ và ký hiệu $f(x)=4x^3-3x$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=n\frac{f(x)}{f(y)}+\left(\frac{f(\sqrt{1-x^2})}{f(\sqrt{1-y^2})}\right)^n$

Với $n$ là một số nguyên dương tùy ý.

Lớp 9 đã học tới công thức $\cos 3x$ chưa?