- Xác định tất cả các tập hợp của sáu số nguyên dương liên tiếp sao cho tích của hai số trong chúng, thêm vào tích của hai số khác trong chúng, bằng với tích của hai số còn lại.
- Cho $ x, y, z $ là các số nguyên dương sao cho $ x \neq y \neq z \neq x $. Chứng minh $$ (x + y + z) (xy + yz + zx-2) \geq 9xyz. $$
- Cho $ ABC $ là một tam giác nhọn sao cho $ AB \neq AC $, với vòng tròn ngoại tiếp $ \Gamma $ tâm $ O $. Gọi $ M $ là điểm giữa của $ BC $ và $ D $ là một điểm trên $ \Gamma $ sao cho $ AD \perp BC $. Cho $ T $ là một điểm sao cho $ BDCT $ là một hình bình hành và $ Q $ một điểm trên cùng một mặt của $ BC $ với $ A $ sao cho $ \angle {BQM} = \angle {BCA} $ và $ \angle {CQM} = \angle {CBA} $. $ AO $ giao $ \Gamma $ tại $ E $ $ (E \neq A) $, và vòng tròn ngoại tiếp của tam giác $ ETQ $ giao $ \Gamma $ tại điểm $ X \neq E $. Chứng minh rằng các điểm $ A, M $ và $ X $ nằm trên cùng đường thẳng.
- Cho một đa giác $P$ có $ 2n$-đỉnh $ A_1, A_2, \cdots, A_ {2n} $ trong mặt phẳng, trong đó $ n $ là một số nguyên dương. Chúng ta nói rằng một điểm $ S $ trên một trong các mặt của $ P $ có thể được nhìn thấy từ một điểm $ E $ mà nằm bên ngoài $ P $, nếu $ SE $ không có điểm khác nằm trên các mặt của $ P $ ngoại trừ $ S $. Chúng ta tô màu các cạnh của $ P $ bởi 3 màu khác nhau (bỏ qua các đỉnh của $ P $, chúng ta coi chúng không màu), sao cho mọi cạnh được tô màu chính xác một màu và mỗi màu được sử dụng ít nhất một lần. Hơn nữa, từ mọi điểm trên mặt bên ngoài $ P $, những điểm có nhiều nhất hai màu khác nhau trên $ P $ có thể được nhìn thấy. Xác định số lượng màu khác biệt của $ P $ (hai màu được coi là khác biệt nếu có ít nhất một trong các cạnh có màu khác nhau).
Nguồn: www.molympiad.ml
