Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

$Z$ không đẳng cấu với nhóm cộng trên bất kì không gian vector nào

isomorphic field vector space

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1559 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:Geometry and Topology

Đã gửi 01-07-2017 - 21:16

Chứng minh rằng $Z$ không đẳng cấu với nhóm cộng không gian vecto trên bất kì trường nào . 

Ý tưởng em thì như này gọi $V$ là không gian vecto trên trường $K$ nào đó . Gọi đẳng cấu là :

$$\phi : (V , +) \to (Z , +)$$

Xét ánh xạ sau với $w \in K , w \neq 0$

$$f : K \to V$$

$$a \to aw$$

Khi đó đây là đơn cấu vì nếu $aw=bw => (a-b)w=0$ nếu $a-b \neq 0$ thì nó khả nghịch và do đó $w = 0$ nên trái giả sử . Nên nhóm cộng của $K$ đẳng cấu với nhóm con của $Z$ , thương hóa nó được trường hữu tỷ ( trong TH đặc số bằng $0$ còn khác $0$ thì hiển nhiên ) , nên ta có một đẳng cấu từ $Q$ vào nhóm con của $Z$ gọi là $h : Q \to S \subset Z$

Ta dễ thấy công thức $h(1)=2h(\frac{1}{2})$ nên $\frac{1}{2}h(1)=h(\frac{1}{2})$ nhưng khi đó $h^{-1}(\frac{1}{2}h(1))$ không tồn tại vì $\frac{1}{2}$ không nguyên 

:D Không biết các cao nhân có cao kiến gì không


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 01-07-2017 - 21:57

Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.


#2 vutuanhien

vutuanhien

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 612 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN

Đã gửi 01-07-2017 - 22:56

Chứng minh rằng $Z$ không đẳng cấu với nhóm cộng không gian vecto trên bất kì trường nào . 

Ý tưởng em thì như này gọi $V$ là không gian vecto trên trường $K$ nào đó . Gọi đẳng cấu là :

$$\phi : (V , +) \to (Z , +)$$

Xét ánh xạ sau với $w \in K , w \neq 0$

$$f : K \to V$$

$$a \to aw$$

Khi đó đây là đơn cấu vì nếu $aw=bw => (a-b)w=0$ nếu $a-b \neq 0$ thì nó khả nghịch và do đó $w = 0$ nên trái giả sử . Nên nhóm cộng của $K$ đẳng cấu với nhóm con của $Z$ , thương hóa nó được trường hữu tỷ ( trong TH đặc số bằng $0$ còn khác $0$ thì hiển nhiên ) , nên ta có một đẳng cấu từ $Q$ vào nhóm con của $Z$ gọi là $h : Q \to S \subset Z$

Ta dễ thấy công thức $h(1)=2h(\frac{1}{2})$ nên $\frac{1}{2}h(1)=h(\frac{1}{2})$ nhưng khi đó $h^{-1}(\frac{1}{2}h(1))$ không tồn tại vì $\frac{1}{2}$ không nguyên 

:D Không biết các cao nhân có cao kiến gì không

Xem lại đoạn thương hóa với tính phổ dụng như đã trao đổi ban nãy nhé.

Bài này xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: Đặc số của $\mathbb{K}$ khác $2$. Khi đó do $\phi$ là đẳng cấu nên tồn tại $v\in V$ mà $\phi(v)=1$. Suy ra $1=\phi(v)=\phi(v.2^{-1}+v.2^{-1})=2\phi(v.2^{-1})$, vô lý vì không tồn tại số nguyên $z$ mà $2z=1$. Ở đây $2^{-1}$ là nghịch đảo của $2$ trong trường $\mathbb{K}$.

Trường hợp 2: Đặc số của $\mathbb{K}$ bằng $2$. Khi đó ta có $0=\phi(0)=\phi(1+1)=2\phi(1)$ nên $\phi(1)=0=\phi(0)$, tức là $1=0$ do $\phi$ là song ánh. Điều này vô lý. 

Vậy tóm lại ta có đpcm.


$\sum_{P} I(P, F\cap G)=mn$

 

"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: isomorphic, field, vector space

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh