Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Liệu có tồn tại x;y là số tự nhiên mà x và y khác a;b thỏa mãn$\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$

phương trình nghiệm nguyên căn bậc 2

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 nguyenthaison

nguyenthaison

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 75 Bài viết

Đã gửi 01-07-2017 - 22:34

Cho phương trình: $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ (*)

ĐK: a;b là hằng số và không là số chính phương.

Liệu có tồn tại x;y là số tự nhiên mà x và y khác a;b thỏa mãn pt (*)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienduc: 02-07-2017 - 15:40


#2 didifulls

didifulls

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 221 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:.
  • Sở thích:Không khai báo

Đã gửi 01-07-2017 - 22:43

Cho phương trình: $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ (*)

ĐK: a;b là hằng số và không là số chính phương.

Liệu có tồn tại x;y là số tự nhiên mà x và y khác a;b thỏa mãn pt (*)

 

$\sqrt{x}+\sqrt{y} =\sqrt{a}+\sqrt{b} (*)$
$<=> \sqrt{x}- \sqrt{b}=\sqrt{a}-\sqrt{y}$
$=> x+b-2\sqrt{xb}=y+a-2\sqrt{ay}$
$<=> x-y+b-a=2(\sqrt{xb}-\sqrt{ay})$
$VT \epsilon  \mathbb{N} => VP \epsilon  \mathbb{N}$
Ma a,b khong phai là SCP $=> y=ay_1^2 =>x=bx_1^2$ 
$(*)<=> \sqrt{b}x_{1} +\sqrt{a}y_{1} = \sqrt{a}+\sqrt{b}$
$
<=>\sqrt{b}(x_{1} -1) = \sqrt{a}(1- y_{1})$
$y_1 \geq 1 . Ma y_1 =1 => y=a => x_1=1 => x=b$
$y_1 > 1$ => Vo li
Ngược lai.
Vay KHÔNG  có tồn tại x;y là số tự nhiên mà x và y khác a;b thỏa mãn pt (*)
p/s: Lần sau gõ thì thêm '' $ '' vào trước sau nhé 
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi didifulls: 03-07-2017 - 16:05

''.''


#3 nguyenthaison

nguyenthaison

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 75 Bài viết

Đã gửi 02-07-2017 - 20:49

 

$\sqrt{x}+\sqrt{y} =\sqrt{a}+\sqrt{b} (*)$
$<=> \sqrt{x}- \sqrt{b}=\sqrt{a}-\sqrt{y}$
$=> x+b-2\sqrt{xb}=y+a-2\sqrt{ay}$
$<=> x-y+b-a=2(\sqrt{xb}-\sqrt{ay})$
$VT \epsilon  \mathbb{N} => VP \epsilon  \mathbb{N}$
Ma x,y khong phai là SCP $=> y=ay_1^2 =>x=bx_1^2$ 
$(*)<=> \sqrt{b}x_{1} +\sqrt{a}y_{1} = \sqrt{a}+\sqrt{b}$
$
<=>\sqrt{b}(x_{1}-1) = \sqrt{a}(1-y_{1})$
$y_1 \geq 1 . Ma y_1 =1 => y=a => x_1=1 => x=b$
$y_1 > 1$ => Vo li
Ngược lai.
Vay KHÔNG  có tồn tại x;y là số tự nhiên mà x và y khác a;b thỏa mãn pt (*)
p/s: Lần sau gõ thì thêm '' $ '' vào trước sau nhé 

 

e cảm ơn anh nhìu lắm  :like  :luoi:



#4 1ChampRivenn

1ChampRivenn

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 28 Bài viết

Đã gửi 03-07-2017 - 15:40

 

$\sqrt{x}+\sqrt{y} =\sqrt{a}+\sqrt{b} (*)$
$<=> \sqrt{x}- \sqrt{b}=\sqrt{a}-\sqrt{y}$
$=> x+b-2\sqrt{xb}=y+a-2\sqrt{ay}$
$<=> x-y+b-a=2(\sqrt{xb}-\sqrt{ay})$
$VT \epsilon  \mathbb{N} => VP \epsilon  \mathbb{N}$
Ma x,y khong phai là SCP $=> y=ay_1^2 =>x=bx_1^2$ 
$(*)<=> \sqrt{b}x_{1} +\sqrt{a}y_{1} = \sqrt{a}+\sqrt{b}$
$
<=>\sqrt{b}(x_{1}-1) = \sqrt{a}(1-y_{1})$
$y_1 \geq 1 . Ma y_1 =1 => y=a => x_1=1 => x=b$
$y_1 > 1$ => Vo li
Ngược lai.
Vay KHÔNG  có tồn tại x;y là số tự nhiên mà x và y khác a;b thỏa mãn pt (*)
p/s: Lần sau gõ thì thêm '' $ '' vào trước sau nhé 

 

Đoạn này sai r. Ko có cơ sở nào để suy ra như vậy cả.



#5 didifulls

didifulls

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 221 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:.
  • Sở thích:Không khai báo

Đã gửi 03-07-2017 - 16:03

Đoạn này sai r. Ko có cơ sở nào để suy ra như vậy cả.

À chết chắc mình viết nhầm @@ Mà a,b không phải là SCP chứ nhỉ ? :v 


''.''


#6 1ChampRivenn

1ChampRivenn

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 28 Bài viết

Đã gửi 03-07-2017 - 16:51

Cho phương trình: $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ (*)

ĐK: a;b là hằng số và không là số chính phương.

Liệu có tồn tại x;y là số tự nhiên mà x và y khác a;b thỏa mãn pt (*)

$gt\Leftrightarrow \sqrt{x}=\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{y}$

$\Leftrightarrow x= a+b+y+2\sqrt{ab}-2\sqrt{ay}-2\sqrt{by}$

Do $x,a,b,y$ là số tự nhiên nên $2\sqrt{ab}-2\sqrt{ay}-2\sqrt{by}$ sẽ phải là số nguyên.

Đặt $t=2\sqrt{ab}-2\sqrt{ay}-2\sqrt{by}$

$\Rightarrow \sqrt{ab}-\frac{t}{2}=\sqrt{ay}+\sqrt{by}\Leftrightarrow ab+\frac{t^2}{4}-t\sqrt{ab}= ay+by+2y\sqrt{ab}$

$\Leftrightarrow ab+\frac{t^2}{4}-y(a+b)=(t+2y)\sqrt{ab}$ $(*)$

+ Nếu $ab$ ko là số chính phương thì $\sqrt{ab}$ là vô tỷ suy ra $VP$ vô tỷ $VT$ hữu tỉ vô lí. Vậy ko tồn tại.

+ Nếu $ab$ là số chính phương

$gt\Leftrightarrow x+y+2\sqrt{xy}= a+b+2\sqrt{ab}= t\Leftrightarrow 2\sqrt{xy}=t-x-y$

Suy ra $t>x+y$ và $4xy=x^2+y^2+t^2+2xy-2xt-2yt\Leftrightarrow x^2-2x(y+t)+(y-t)^2=0$

để pt có nghiệm tự nhiên thì $delta'$ phải là số chính phương.

Ta có $delta'=4yt$. Chọn $y$ sao cho $yt$ là scp.

$\Rightarrow x=y+t-2\sqrt{yt}=(\sqrt{y}-\sqrt{t})^2$.

Do $t>x+y$ suy ra $t>2y+t-2\sqrt{yt}\Leftrightarrow \sqrt{yt}> y\Leftrightarrow t> y$.

Vậy khi $ab$ là số chính phương thì pt có nghiệm $x=(\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}-\sqrt{y})^2$

trong đó $y$ là số tự nhiên thỏa mãn $y<a+b+2\sqrt{ab}$ và $y(a+b+2\sqrt{ab})$ là số chính phương.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 1ChampRivenn: 03-07-2017 - 17:36


#7 1ChampRivenn

1ChampRivenn

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 28 Bài viết

Đã gửi 03-07-2017 - 17:01

À chết chắc mình viết nhầm @@ Mà a,b không phải là SCP chứ nhỉ ? :v 

là a,b thì vẫn sai :vv ví dụ với $a=2.3^3$ thì $y$ chỉ cần $y=2.3=6$ là $ay$ đã là scp r.

Mà kể cả khi $\sqrt{ay},\sqrt{bx}$ ko nguyên thì hiệu $\sqrt{ay}-\sqrt{bx}$ vẫn có thể là số nguyên.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 1ChampRivenn: 03-07-2017 - 17:02






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh