Cho phương trình: $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ (*)
ĐK: a;b là hằng số và không là số chính phương.
Liệu có tồn tại x;y là số tự nhiên mà x và y khác a;b thỏa mãn pt (*)
$gt\Leftrightarrow \sqrt{x}=\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{y}$
$\Leftrightarrow x= a+b+y+2\sqrt{ab}-2\sqrt{ay}-2\sqrt{by}$
Do $x,a,b,y$ là số tự nhiên nên $2\sqrt{ab}-2\sqrt{ay}-2\sqrt{by}$ sẽ phải là số nguyên.
Đặt $t=2\sqrt{ab}-2\sqrt{ay}-2\sqrt{by}$
$\Rightarrow \sqrt{ab}-\frac{t}{2}=\sqrt{ay}+\sqrt{by}\Leftrightarrow ab+\frac{t^2}{4}-t\sqrt{ab}= ay+by+2y\sqrt{ab}$
$\Leftrightarrow ab+\frac{t^2}{4}-y(a+b)=(t+2y)\sqrt{ab}$ $(*)$
+ Nếu $ab$ ko là số chính phương thì $\sqrt{ab}$ là vô tỷ suy ra $VP$ vô tỷ $VT$ hữu tỉ vô lí. Vậy ko tồn tại.
+ Nếu $ab$ là số chính phương
$gt\Leftrightarrow x+y+2\sqrt{xy}= a+b+2\sqrt{ab}= t\Leftrightarrow 2\sqrt{xy}=t-x-y$
Suy ra $t>x+y$ và $4xy=x^2+y^2+t^2+2xy-2xt-2yt\Leftrightarrow x^2-2x(y+t)+(y-t)^2=0$
để pt có nghiệm tự nhiên thì $delta'$ phải là số chính phương.
Ta có $delta'=4yt$. Chọn $y$ sao cho $yt$ là scp.
$\Rightarrow x=y+t-2\sqrt{yt}=(\sqrt{y}-\sqrt{t})^2$.
Do $t>x+y$ suy ra $t>2y+t-2\sqrt{yt}\Leftrightarrow \sqrt{yt}> y\Leftrightarrow t> y$.
Vậy khi $ab$ là số chính phương thì pt có nghiệm $x=(\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}-\sqrt{y})^2$
trong đó $y$ là số tự nhiên thỏa mãn $y<a+b+2\sqrt{ab}$ và $y(a+b+2\sqrt{ab})$ là số chính phương.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 1ChampRivenn: 03-07-2017 - 17:36