Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Bulgaria MO 2016


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Nguyenphuctang

Nguyenphuctang

    Sĩ quan

  • Banned
  • 499 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:Đang tải

Đã gửi 02-07-2017 - 10:32

$$ \huge \text{BULGARIA MO 2016 }$$

 

Ngày thứ nhất

 

Bài 1. Tìm tất cả các số nguyên dương $\displaystyle m$ và $\displaystyle n$ sao cho $\displaystyle (2^{2^{n}}+1)(2^{2^{m}}+1)$ chia hết cho $\displaystyle m\cdot n$ .

 

Bài 2. Trong một cuộc thi toán có $\displaystyle n$ học sinh tham gia, mỗi học sinh phải giải $\displaystyle 6$ bài toán, mỗi bài toán có $\displaystyle 3$ câu trả lời. Sau khi chấm bài, ban tổ chức thấy rằng với mỗi hai học sinh, số bài toán mà họ có cùng câu trả lời là $\displaystyle 0$ hoặc $\displaystyle 2$. Tìm giá trị lớn nhất của $\displaystyle n$.

 

Bài 3. Cho các số thực dương $a,b,c,d$. Chứng minh rằng

$$\displaystyle \frac {a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}+\sqrt[4]{abcd}}{4} \leq \sqrt[4]{a.\frac{a+b}{2}.\frac{a+b+c}{3}.\frac{a+b+c+d}{4}}$$.

 

Ngày thứ hai

 

Bài 4. Tồn tại hay không số nguyên dương $\displaystyle n<10^9$ thỏa mãn: $\displaystyle n$ có thể biểu diễn thành tổng bình phương của ba số nguyên dương theo nhiều hơn $\displaystyle 1000$ cách?

 

Bài 5. Cho tam giác $\displaystyle {ABC}$ cân tại $\displaystyle C. \displaystyle D$ nằm trên phần kéo dài của $\displaystyle AC$ về phía $\displaystyle C$ sao cho $\displaystyle AC>CD$. Phân giác của $\displaystyle \angle BCD$ cắt $\displaystyle BD$ tại $\displaystyle N$ và $\displaystyle M$ là trung điểm của $\displaystyle BD$. Tiếp tuyến tại $\displaystyle M$ của $\displaystyle (AMD)$ cắt cạnh $\displaystyle BC$ tại $\displaystyle P$. Chứng minh rằng $\displaystyle A,P,M$ và $\displaystyle N$ cùng nằm trên một đường tròn.

 

Bài 6. Cho số nguyên dương $\displaystyle n$. Một hình vuông $\displaystyle A$ có cạnh $\displaystyle n$ được chia thành $\displaystyle n^2$ ô vuông đơn vị theo cách thông thường. Tất cả các ô đơn vị được tô bởi một trong $\displaystyle n$ màu sao cho mỗi màu dùng đúng $\displaystyle n$ lần. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $\displaystyle N$ sao cho với mỗi $\displaystyle n>N$, tồn tại hình vuông $\displaystyle B$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện:

(a) Cạnh của $\displaystyle B$ có độ dài $\displaystyle \sqrt{n}$;

(b) Các cạnh của $\displaystyle B$ cùng phương với các cạnh của $\displaystyle A$;

(c) $\displaystyle B$ chứa $\displaystyle 4$ hình vuông đơn vị có màu khác nhau.



#2 AnhTran2911

AnhTran2911

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 230 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên PBC , Vinh, Nghệ An.
  • Sở thích:pp

Đã gửi 02-07-2017 - 11:46

Câu Bất Max dễ. Xơi trước:

Theo BĐT AM-GM suy ra $\sqrt[3]{abc}\leq{\sqrt[4]{\frac{abc(a+b+c)}{3}}}$

Bây giờ ta sẽ CM BĐT mạnh hơn:

$\sqrt[4]{a^4}+\sqrt[4]{a^2b^2}+\sqrt[4]{\frac{abc(a+b+c)}{3}}+\sqrt[4]{abcd}$ $\leq$ 4.$\sqrt[4]{a.\frac{a+b}{2}.\frac{a+b+c}{3}.\frac{a+b+c+d}{4}}$

Theo AM-GM cho 4 số dương:

$\sqrt[4]{\frac{4a}{a+b+c+d}.\frac{3a}{a+b+c+d}.\frac{2a}{a+b}.1}\leq{\frac{\frac{4a}{a+b+c+d}+\frac{3a}{a+b+c}+\frac{2a}{a+b}+1}{4}}$ $(1)$

$\sqrt[4]{\frac{4b}{a+b+c+d}.\frac{3b}{a+b+c}.\frac{2a}{a+b}.1}\leq{\frac{\frac{4b}{a+b+c+d}+\frac{3b}{a+b+c}+\frac{2a}{a+b}+1}{4}}$        $(2)$

$\sqrt[4]{\frac{2b}{a+b}.\frac{4c}{a+b+c+d}.1.1}\leq{\frac{\frac{2b}{a+b}+\frac{4c}{a+b+c+d}+1+1}{4}}$                                $(3)$

$\sqrt[4]{\frac{4d}{a+b+c+d}.\frac{3c}{a+b+c}.\frac{2b}{a+b}.1}\leq{\frac{\frac{4d}{a+b+c+d}+\frac{3c}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b}+1}{4}}$        $(4)$

Cộng vế theo vế của $(1)(2)(3)(4)$ ta có được BĐT cần Chứng Minh.

Hoàn tất .

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnhTran2911: 02-07-2017 - 20:04

        AQ02

                                 





5 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 5 khách, 0 thành viên ẩn danh